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1、2.1.1椭圆及其标准方程——仙女座星系星系中的椭圆一、椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2),两焦点的距离叫做椭圆的焦距
4、F1F2
5、.1、椭圆的定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于
6、F1F2
7、)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。M几点说明:1、F1、F2是两个不同的点;2、M是椭圆上任意一点,且
8、MF1
9、+
10、MF2
11、=常数;3、通常这个常数记为2a,焦距记为2c,且2a>2c;4、如果2a=2c,
12、则M点的轨迹是线段F1F2.5、如果2a<2c,则M点的轨迹不存在.(由三角形的性质知)随堂练习.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。因
13、MF1
14、+
15、MF2
16、=6>
17、F1F2
18、=4,故点M的轨迹为椭圆。因
19、MF1
20、+
21、MF2
22、=4=
23、F1F2
24、=4,故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。因
25、
26、MF1
27、+
28、MF2
29、=4<
30、F1F2
31、=4,故点M的轨迹不存在。如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1、F2,并且点O与线段F1F2的中点重合.设点M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0).焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.
32、MF1
33、+
34、MF2
35、=2a2.椭圆标准方程的推导:讲授新课OXYF1F2M如图所示:F1、F2为两定点,且
36、F1F2
37、=2c,求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)的动点M的轨迹方程。解:以F1F2所在直线为X轴,F1F2的中点为原点
38、建立平面直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点,则:
39、MF1
40、+
41、MF2
42、=2aOXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得:a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c,即a>c,所以a2-c2>0,令a2-c2=b2,其中b>0,代入上式可得:b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得:(a>b>0)这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦
43、点在x轴上。(a>b>0).椭圆的标准方程:是F1(c,0)、F2(-c,0),且c2=a2-b2.它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点讲授新课讲授新课如果使点F1、F2在y轴上,点F1、F2的坐标是F1(0,-c)、F2(0,c),则椭圆方程为:(a>b>0).如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?椭圆的方程两种形式的标准方程的比较:与椭圆的焦点在x轴上椭圆标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上椭圆标准方程中y2项的分母较大.椭圆的方程aA1yOF1F2xB2B1A2cb椭圆方程的几何意义:椭圆的标准方程定义图形方程焦点a、b、c之间的关系F1
44、F2MyxOyxOMF1F2
45、MF1
46、+
47、MF2
48、=2a(2a>
49、F1F2
50、)(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)b2=a2c2分母哪个大,焦点就在哪一根坐标轴上答:在x轴上(-3,0)和(3,0)答:在y轴上(0,-5)和(0,5)答:在y轴上(0,-1)和(0,1)焦点在分母大的那个轴上。判定下列椭圆的焦点在哪个轴上,写出焦点坐标。写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4,b=1,焦点在x轴上;(2)a=4,b=1,焦点在坐标轴上;或例题讲解例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10
51、,求椭圆的标准方程。12yoFFMx解:∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2-c2=52-42=9∴所求椭圆的标准方程为:课堂练习5:若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围。∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆解之得:0