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1、2.1.1椭圆及其标准方程——仙女座星系星系中的椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于
2、F1F2
3、）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2)，两焦点的距离叫做椭圆的焦距
4、F1F2
5、.1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于
6、F1F2
7、）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。M几点说明：1、F1、F2是两个不同的点；2、M是椭圆上任意一点，且
8、MF1
9、+
10、MF2
11、=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c；4、如果2a=2c，
12、则M点的轨迹是线段F1F2.5、如果2a<2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）随堂练习.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。因
13、MF1
14、+
15、MF2
16、=6>
17、F1F2
18、=4，故点M的轨迹为椭圆。因
19、MF1
20、+
21、MF2
22、=4=
23、F1F2
24、=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。因
25、
26、MF1
27、+
28、MF2
29、=4＜
30、F1F2
31、=4，故点M的轨迹不存在。如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.设点M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c＞0).焦点F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0)．又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．
32、MF1
33、＋
34、MF2
35、＝2a2.椭圆标准方程的推导：讲授新课OXYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点，且
36、F1F2
37、=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，F1F2的中点为原点
38、建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:
39、MF1
40、+
41、MF2
42、=2aOXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(a>b>0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦
43、点在x轴上。(a＞b＞0).椭圆的标准方程：是F1(c,0)、F2(－c,0)，且c2＝a2－b2.它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点讲授新课讲授新课如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标是F1(0,－c)、F2(0,c)，则椭圆方程为：(a＞b＞0).如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？椭圆的方程两种形式的标准方程的比较：与椭圆的焦点在x轴上椭圆标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上椭圆标准方程中y2项的分母较大．椭圆的方程aA1yOF1F2xB2B1A2cb椭圆方程的几何意义：椭圆的标准方程定义图形方程焦点a、b、c之间的关系F1
44、F2MyxOyxOMF1F2
45、MF1
46、+
47、MF2
48、=2a(2a>
49、F1F2
50、)(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)b2=a2c2分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上答:在x轴上(-3,0)和(3,0）答:在y轴上(0,-5)和(0,5）答:在y轴上(0,-1)和(0,1)焦点在分母大的那个轴上。判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，写出焦点坐标。写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；或例题讲解例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10
51、,求椭圆的标准方程。12yoFFMx解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为:课堂练习5：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆解之得：0
