华中师范大学量子力学期末试卷一.doc

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1、华中师范大学2004–2005学年第二学期期末考试试卷（B卷）课程名称量子力学课程编号50112200任课教师贾亚题型计算证明总分分值8020100得分得分评阅人一、证明题：（共2题，每题10分）1．粒子在一维势场中运动,证明:属于不同能级的束缚态波函数互相正交。(设、分别属于能级、的束缚态波函数，由于是一维束缚态，、都是实函数，故只需证明)证明：设、分别属于能级、的束缚态波函数，由于是一维束缚态，、都是实函数，故只需证明。、均应满足定态薛定谔方程，即（1）（2）以左乘（1）式，再左乘（2）式，再相减，即得（3）对全空间积分，得到束缚态波函数在无穷远处必须为0，因此，当，就有

2、即、正交。2．若算符与对易，其中为实数。对于任意波函数有：，即为平移算符。证明：算符是的周期函数，且周期为。证明：根据题意，即。且对于任意波函数有。故。因此。即为周期函数，周期为。二、计算题：（共4题，每题20分）1．已知二阶矩阵、满足：，，，在表象中，求出矩阵、。解：根据定义，有，由于，故得（1）由此式求出的本征值为0，1。在表象中，为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以可以表示成（2）设（3）应有（4）（5）（6）由（4）可得，（）由（5）可得，（）由式（）、（）可得可取（为实数），代入（3）式即得表象中的矩阵表示：（7）由（2）、（7）表示的、已满足题设条件。故可取实数

3、。令，则2．（1）哈密顿在表象中的矩阵为，、为实数，用微扰方法计算粒子能量至二级近似。（2）粒子受到势能为的场散射，，用玻恩近似计算微分散射截面。解：（1）已知在能量表象中，所以。准确到二级近似时，按微扰公式：，当时，；当时，。（2）3．在表象中，求的本征值和本征态，是方向的单位矢。解：（在表象中）本征方程为即由此得即有非零解的条件是由此得，。可求得与对应的本征矢为，与对应的本征矢为。4．某量子体系的能量算符为，其中，，且、满足基本对易关系式，即，试求的本征值谱。解：（一）算符、的定义使人立即联想到谐振子的升、降算符。下面将用、表示，再寻找解决办法。，，故。令，则仍有对易式。

4、故现的结构已经和谐振子类似，再令，则，，。设，容易证明，，。因此能级为,。基态，基态波函数满足，即解为，为归一化常数。解：（二）由，，可算出和的对易式为（*）为了将化成谐振子的形式，应该找到一对算符、，满足（#）并使成下列形式（18）设，容易证明，，（19）为此，试令（为待定系数）（20）利用（*）式，易得（21）（22）根据（#）式，故。（23）由及（18）、（22）式，得（24）由（23）、（24）式解出根，代入（22）式，再代入（18）式得以及，因此,。基态波函数求法类似。