高次、无理指数、对数不等式的解法及应用分析.doc

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1、高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。　一、高次不等式　　1．概念：　　形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1,x2,……,xn是互不相

2、等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。　　2．解题思路：　　作出相应函数的图象草图。具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。　　3．例题：　　例1．解不等式：(1)(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；　(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。　　解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。　　　　　

3、　　所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。　　(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。　　注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。　

4、　例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。　　分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，　　故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。　　注：本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于　　　　二、无理不等式　　1．概念：如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式。　　2

5、．解题思路：将其转化为有理不等式。　　3．常见题型及等价转化：　　(1)>　　(2)>g(x)或或　　(3)y2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图4

6、）。设它们交点的横坐标是x0,则=x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1（舍）。所以原不等式解集为[5，+∞）。　　评述：解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变为二次不等式，但最终还要解x的方程。解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整。　　例2．解不等式>a-x(a>0)。　　解：>a-x(I)或(II)　　而(I)　(2-)a0)。　　(II)x>a(因为a>0)。　

7、所以原不等式的解集是，即。　　例3．解不等式　　解：或　　x>1或x=1或x=-2。　　所以原不等式的解集是[1,+∞){-2}。　　三、指数不等式，对数不等式　　1．解题思路：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性。　　2．常见题型及等价转化：　　(1)(a>0,a≠1)。当01时，f(x)>g(x)。　　(2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0。令ax=t(t>0)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。　　(

8、3)logaf(x)>logag(x)(a>0,a≠1)。　　当01时，　　(4)。　　令logaf(x)=t(t∈R)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。　　3．例题　　例1．解不等式。　　解：，所以x2-2x-3<3-3x，所以x2+x-6<0,所以-30),则t2-12t-64≤0。　　所以-4≤t≤16，因为t>0。所以