乘法公式的常用方法和技巧

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1、乘法公式的常用方法和技巧一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(xy)2-(z+m)2=(x-y)2-z2=x2y2-(z+m)(z+m)=(x

2、-y)(x-y)-z2=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2-xy-xy+y2-z2=x2y2-z2-2zm-m2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=(x2-y2)(x2+y2)=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=x4-y4=2x(-2y+2z)二、乘法公式的用法=-4xy+4xz(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时提高观察能力。例1.计

3、算：(二)、连用:连续使用同一公式或连用两种以上公式解题。（同一个公式不会超过2次）例2计算：(三)、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例3.计算：(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2(四)、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的公式：例4.已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．三、乘法公式常用方法技巧①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例5.运用乘法

4、公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2(2m-1)2注意：-(a+b)2与[-(a+b)]2的区别②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.例6.计算：(x-2)(x2+4)(x+2)③巧添括号：运用添括号法则，改变某些因式的符号，可以使公式的特征更加明显。例7.计算：(2x-y+5)(2x+y-5)④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，为一组；符号相反的项放在后面，为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。分组后要加上括号（

5、注意括号前面是“-”时，括号里的各项要改变符号），使公式的特征更明显例8.计算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+3y-z)(2x-3y+z)⑤拆项和添项：例9.计算：分析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。例10.计算：分析：由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。注意添项后要去项（添项是为了计算简便

6、，去项是为了不改变原来式子的值。）四、整式乘法运算中常用的数学思想方法(一)、整体代入的数学思想例11、已知a+b=2，求的值．分析:将所求的代数式变形，使之成为a+b的表达式，然后整体代入求值．例12、已知求的值．分析:由于我们不便将a，b分别求出，但我们从问题入手，不难发现，利用整体代入，将问题解决．(二)、化归的数学思想例13、已知求的值．分析:求解本题的关键在于寻找所求式子（目标）与已知条件的关系，可以用下面两种解法．解法一（已知→目标）:解法二（目标→已知）:(三)、逆向思维的思想方法1、逆用幂的运算法则2、逆用乘法公式例14、计算：…(四)、构造

7、公式模型的思想方法例15、计算：1022×98211×101×10001(五)、数形结合的思想方法例16、已知一个长方形的长为（2a+3b），宽为（3a+2b），若用如图所示的3种图形拼成这个长方形，则需要A个，B个，C个。例17，图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m-n）2（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系是：（m-n）2+4mn=（m+n）2（3）若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=5-5（4）观察图③，你

8、能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，