概率极限理论.doc

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1、随机微分方程基本理论1、引言随机微分方程（SDE）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而

2、建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展

3、了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。2、基础理论和线性方程(2.1)是由伊藤积分方程(2.2)定义。这样，（2.1）式的解释非可料函数，使得，和属于，且满足（2.2）式。对于方程组(2.3)可以同样定义，其中，且是独立布朗运动组成的向量，随机微分方程的最简单例子是方程(2.4)其解为为了阐明解的本质，我们计算的转移概率密度，即函数使得(t>s)其中A是R中任意集合。假定和是确定函数。随机积分是独立正态随机变量线性组合的极限，因而积分也是正态变量，这样，是正态变量，因而其中由此得到作为随机积分的期望等于零。同样有因

4、而下一步考虑经过变量变换能化为（2.4）式的随机微分方程。考虑变量变换其中是（2.1）式的解，那么有伊藤公式，(2.5)假设有（关于x的）反函数，于是，那么，因而（2.5）式可写为(2.6)其中如果能找到函数使得(2.7)（与x无关）且(2.8)那么，运用，有（2.6-2.8）式，方程（2.1）式可化为（2.4）式。为了得到可化条件，运用（2.8）式可得到下一步对（2.7）式求关于x的导数得到因为且我们有因而(2.9)对（2.9）式等号左、右双杠求关于x的偏导得出(2.10)条件（2.10）式对于可化也是充分的。因为如果（2.10）式满足，（2.9）式右

5、边与x无关，所以可由积分得到。现在，可以从关系是确定。方程（2.9）式等价于因此，括弧中的式子与x无关，所以它可取，例如，考虑常系数线性方程置且运用伊藤公式，得到因此或(2.11)3、解得存在性和唯一性在下列简化条件下：(i)a和b是x的函数且。(ii)。我们将证明解的存在性和唯一性。用逐次逼近法构造解。把伊藤方程写成积分形式(3.1)置和显然，是非可料连续过程，利用不等式得到利用中值定理得到因而，对于，其中现在，因为是鞅，函数是下鞅，由柯尔莫哥洛夫不等式给出类似地有如果T充分小，，取，得到由此得出是几乎处处一致收敛于（3.1）式的一个解。为了证明解得唯

6、一性，令和是（3.1）式的两个解且置那么对于所有有因为我们有由格隆沃尔不等式得出，对所有有a.s.令，得到。4、随机微分方程和扩散过程（a）马尔科夫过程对[0,T]上随机过程，如果对于任意序列和其中满足等式(4.1)就称为马尔可夫过程。假定看作为当前时刻，等式（4.1）意味着过程“忘记”过去。假设马尔可夫过程的转移概率分布（s

7、式的马尔可夫过程。如果值得变化仅在时间（即在时间1,2，），那么是马尔科夫链，所取得值称为状态。令是在第n时刻（或代）的可能状态，那么由元素，那么由元素构成的矩阵称为转移概率矩阵。（b）扩散过程一个马尔科夫过程，如果它的转移概率满足下列两条件：（i）对于每一，t和x(ii)存在函数和使得所有，t和x有和称为扩散过程。函数称为的（无限小）偏移系数，称为（无限小）扩散系数。条件（i）和（ii）以及和的直观意义如下，在很短的时间区间（其长为h）内，在时刻t，函数在点x所做的位移h为，其中是质点在介质中便宜的速度，是质点的随机波动，这种随机波动是由于随机碰撞和热

8、的起伏及其他因素所引起的。，，即正比于质点领域中液体分子的平均能量，下列条件蕴含