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1、§6.1数列的概念及其表示高考理数(课标专用)A组 统一命题·课标卷题组考点 数列的概念及表示方法1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.五年高考答案-63解析本题主要考查由an与Sn的关系求数列的通项公式.解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1,∴{an}是首项为-1,公比为2的等比数列.∴S6===-63.解法二:由Sn=2an+1,得S1
2、=2S1+1,所以S1=-1,当n≥2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,∴Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,∴{Sn-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-2×2n-1=-2n,所以Sn=1-2n,∴S6=1-26=-63.2.(2014课标Ⅱ,17,12分,0.299)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明++…+<.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+=
3、3.又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此{an}的通项公式为an=.(2)证明:由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<.方法指导(1)将已知递推式转化为an+1+=3.(2)利用3n-1≥2×3n-1进行转化.考点 数列的概念及表示方法1.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.B组 自主命题·省(区、市)卷题组答案1;121解析解法一
4、:∵an+1=2Sn+1,∴a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又∵S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.解法二:由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,则Sn+1+=3,又S1+=,∴是首项为,
5、公比为3的等比数列,∴Sn+=×3n-1,即Sn=,∴S5==121.2.(2014广东,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.解析(1)依题意有解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②①-②并整理得an+1=(n≥2).由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明
6、.当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;当n=2时,a2=2×2+1=5,命题成立;假设当n=k时,ak=2k+1命题成立,则当n=k+1时,ak+1===2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.综上,∀n∈N*,an=2n+1.考点 数列的概念及表示方法1.(2013课标Ⅰ,14,5分,0.622)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=.C组 教师专用题组答案(-2)n-1解析由Sn=an+得:当n≥2时,Sn-1=an-1+,∴当n≥2时,an=-2an-1
7、,又n=1时,S1=a1=a1+,a1=1,∴an=(-2)n-1.方法指导利用an=求解.2.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是.答案an=解析记△OA1B1的面积为S,则△OA2B2的面积为4S.从而四边形AnBnBn+1An+1的面积均为3S.即得△OAnBn的面积为S+3(n-1)S=(
8、3n-2)S.∴=3n-2,即an=.3.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*).证明(1)由题意得an+1-an=-≤0,即an+1≤an,故an≤.由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0
