高考理数　椭圆及其性质.pptx

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1、§10.1椭圆及其性质高考理数(课标专用)考点一　椭圆的定义和标准方程1.(2014课标Ⅰ,20,12分,0.433)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.A组  统一命题·课标卷题组五年高考解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=

2、kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而

3、PQ

4、=

5、x1-x2

6、=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·

7、PQ

8、=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.思路分析(1)通过直线AF的斜率求得c的值,通过离心率求得a,进而求出b2,从而

9、得到E的方程;(2)设出直线l的方程和点P、Q的坐标,联立直线l与椭圆方程,利用弦长公式求得

10、PQ

11、的长,根据点到直线的距离公式求得△OPQ边PQ上的高,从而表示出△OPQ的面积,利用换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k的值,从而得直线l的方程.解题关键对于第(2)问,正确选择参数,表示出△OPQ的面积,进而巧妙利用换元法分析最值是解题的关键.2.(2014课标Ⅱ,20,12分,0.185)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交

12、点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且

13、MN

14、=5

15、F1N

16、,求a,b.解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由

17、MN

18、=5

19、F1N

20、得

21、DF1

22、=2

23、F1N

24、.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+

25、=1.解得a=7,故b2=4a=28,故a=7,b=2.考点二　椭圆的几何性质1.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案    D本题考查直线方程和椭圆的几何性质.由题意易知直线AP的方程为y=(x+a),①直线PF2的方程为y=(x-c).②联立①②得y=(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c).因为∠PF

26、2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c),所以sin60°===,即a+c=5c,即a=4c,所以e==.故选D.解题关键通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案    A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴

27、=a,即2b=,∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴=,∴e==.方法技巧椭圆离心率的求法:(1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e=求解.(2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的范围取舍方程的解.3.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)A.B.

28、C.D.答案    A由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N,由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即=,所以=,即a=3c,所以e=.故选A.思路分析根据题意设出过点A的直线l的方程