郑州省实验[初二数学共享课程第三讲 平方根]郑州省实验[初二数学共享课程第三讲 平方根]学生版.doc

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1、第3讲平方根【温故知新】（5分钟左右）请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：【趣味引入】（5分钟左右）【知识梳理】（20分钟左右）1.算术平方根2(1)算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．(2)算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“a”，读作“根号a”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根．重点算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a的正的平方根就是它的算术平方根．如果知道一个

2、数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根．2．平方根2(1)平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x＝a，那么这个数x就叫做a的平方根22(也叫做二次方根).3＝9，所以3是9的平方根．(－3)＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“±a”，读作“正、负根号a”．“”读作“根号”，“a”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±2.[来源:Zxxk.Com]22(3)平方根的性质：若x＝a，则有(－x)＝a，即－x也是a的平方根，因此正数a的平方根2有两个，它们互为相反数；只有0＝0，故0的平方根为0；由于同

3、号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．3．开平方求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有

4、两个结果．(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决．224.a与(a)的关系222a表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a)＝a(a≥0).a表示a的算术22平方根，依据算术平方根的定义，若a≥0，则a的算术平方根为a；若a＜0，则a的算术a，a≥0，2平方根为－a，即a＝

5、a

6、＝－a，a<0.22(1)区别：①意义不同：(a)表示非负数a的算术平方根的平方；a表示实数a的平方的22算术平方根．②取值范围不同：(a)中的a为非负数，即a≥0；a中的a为任意数．③22运算顺序不同：(a)是先求a的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a

7、是先求a2的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a)中，幂指数2在根号的外面；而a，a≥0，222在a中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a)＝a；a＝

8、a

9、＝－a，a<0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即2222(a)≥0，a≥0.③仅当a≥0时，有(a)＝a.5．平方根与算术平方根的关系(1)区别：①概念不同2平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x＝a，那么这个数x叫做a的平方根．2算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．②表示方法不同平方根：正数

10、a的平方根用符号±a表示．算术平方根：正数a的算术平方根用符号a表示，正数a的负的平方根－a可以看成是正数a的算术平方根的相反数．③读法不同a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数a的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根a，就可以直接写出这个正数的平方根±a了．②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数

11、都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【典题探究】（50分钟左右）1．下列说法正确的是（）A．所有有理数都有算术平方根B．一个数的算术平方根总是正数C．当a＜0时，没有意义D．可以是正数，也可以是负数222．在0.32，﹣5，（﹣4），，﹣

12、﹣4

13、，π这几个数中，有算术平方根的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．一个自然数的平方根为a，则它的相邻的下一个自然数的算术平方根是（）2A．B．a+1C．a+1D．4．有一个数值转换器，程序如图