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1、第3讲平方根【温故知新】(5分钟左右)请大家根据勾股定理,结合图形完成填空: 【趣味引入】(5分钟左右)【知识梳理】(20分钟左右)1.算术平方根(1)算术平方根的概念:如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根.(2)算术平方根的表示方法:正数a的算术平方根记作“”,读作“根号a”.(3)算术平方根的性质:正数有一个正的算术平方根;0的算术平方根是0;负数没有平方根,当然也没有算术平方根.重点算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根,且算术平方根也是非负数;(2)一个正数a的正的平方根就是它的算术平方根.如果知道一个数的算术平方根,就可

2、以写出它的负的平方根.2.平方根(1)平方根的概念:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).32=9,所以3是9的平方根.(-3)2=9,所以-3也是9的平方根,所以9的平方根是3和-3.(2)平方根的表示方法:正数a的平方根可记作“±”,读作“正、负根号a”.“”读作“根号”,“a”是被开方数.例如:2的平方根可表示为±.[来源:Zxxk.Com](3)平方根的性质:若x2=a,则有(-x)2=a,即-x也是a的平方根,因此正数a的平方根有两个,它们互为相反数;只有02=0,故0的平方根为0;由于同号的两个数相乘得正,因此任何数的平方都不会是

3、负数,故负数没有平方根.综合上述:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.如:4的平方根有两个:2和-2,-4没有平方根.3.开平方求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数.开平方运算是已知指数和幂求底数.(1)因为平方和开平方互逆,故可通过平方来寻找一个数的平方根,也可以利用平方验算所求平方根是否正确.(2)开平方与平方互为逆运算,正数、负数、0可以进行“平方”运算,且“平方”的结果只有一个;但“开平方”只有正数和0才可以,负数不能开平方,且正数开平方时有两个结果.(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题,一般可用

4、开平方加以解决.4.与()2的关系表示a的算术平方根,依据算术平方根的定义,()2=a(a≥0).表示a2的算术平方根,依据算术平方根的定义,若a≥0,则a2的算术平方根为a;若a<0,则a2的算术平方根为-a,即=

5、a

6、=(1)区别:①意义不同:()2表示非负数a的算术平方根的平方;表示实数a的平方的算术平方根.②取值范围不同:()2中的a为非负数,即a≥0;中的a为任意数.③运算顺序不同:()2是先求a的算术平方根,再求它的算术平方根的平方;是先求a的平方,再求平方后的算术平方根.④写法不同.在()2中,幂指数2在根号的外面;而在中,幂指数2在根号的里面.⑤运算结果不同:()2=a;=

7、

8、a

9、=(2)联系:①在运算时,都有平方和开平方的运算.②两式运算的结果都是非负数,即()2≥0,≥0.③仅当a≥0时,有()2=.5.平方根与算术平方根的关系(1)区别:①概念不同平方根的概念:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根.算术平方根的概念:如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.②表示方法不同平方根:正数a的平方根用符号±表示.算术平方根:正数a的算术平方根用符号表示,正数a的负的平方根-可以看成是正数a的算术平方根的相反数.③读法不同读作“根号a”;±读作“正、负根号a”.④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一

10、个且一定为正数,而一个正数的平方根有两个,它们一正一负且互为相反数.(2)联系:①平方根中包含了算术平方根,就是说算术平方根是平方根中的一个,即一个正数的平方根有一正一负两个,其中正的那一个就是它的算术平方根,这样要求一个正数a的平方根,只要先求出这个正数的算术平方根,就可以直接写出这个正数的平方根±了.②在平方根±和算术平方根中,被开方数都是非负数,即a≥0.严格地讲,正数和0既有平方根,又有算术平方根,负数既没有平方根,又没有算术平方根.③0的平方根和算术平方根都是0.【典题探究】(50分钟左右)1.下列说法正确的是()A.所有有理数都有算术平方根B.一个数的算术平方根总是正数C.当a

11、<0时,没有意义D.可以是正数,也可以是负数【分析】根据算术平方根的性质和定义逐个判断即可.【解答】解:A、负数没有算术平方根,故本选项不符合题意;B、0的算术平方根是0,不是正数,故本选项不符合题意;C、当a<0时,没有意义,故本选项符合题意;D、可以是正数、但一定不是负数,故本选项不符合题意;故选C.2.在0.32,﹣52,(﹣4)2,,﹣

12、﹣4

13、,π这几个数中,有算术平方根的有()A.3个B.4个C.5个D.6个【

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