十字交叉法的数学原理与化学计算.doc

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1、十字交叉法的数学原理与化学计算张新勇摘要：十字交叉法是中学化学计算中常用的一种方法，但如果使用不当也容易产生错误。本文从数学角度对十字交叉法的原理进行研究，并探索了它在化学计算中的一些具体应用。关键词：十字交叉法 数学原理 二元混和体系 化学计算 一、前言在中学化学教学中，十字交叉法一直作为化学计算中的一种重要方法被广泛使用，十字交叉法具有计算速度快、计算不易出差错等优点。但我在教学实践和教学活动中，发现按传统的思维方法进行教学存在以下问题：（1）学生用十字叉法时带有盲目性，处理较复杂的问题时易产生错误，但对错误产生的原因

2、不甚了解，以致造成由于害怕错误而不敢使用该方法。（2）不少中学化学老师也并未掌握该法的原理，讲授此法时只是简单地告诉学生哪些题型可用十字交叉法求解，不但限制了该法的使用，也束缚了学生的思维。（3）某些参考书在介绍该法时存在一些谬误，如某参考书在总结十字交叉法的运用时，未指明溶液的体积变化可以忽略，就将混合溶液的物质的量浓度与原溶液的体积比列入应用范畴。分析造成以上问题的原因，我认为主要是对十字交叉法的数学原理缺乏清晰的认识。本文将就十字交叉法的数学原理以及在中学化学计算中的应用作一些探索。二、十字交叉法的数学原理对于两个量

3、a、b，其平均值A可由以下方程组确定：ax1+bx2=Ax1+x2=1  (1)     若a、b、A已知，则有：                                               a          │b-A│----x1     Ab          │A-a│----x2  上面的式子可以用如下的格式表示：  由此可见，凡是能建立（1）式这样的方程组的化学题，就能用十字交叉法求解。   三、十字交叉法的物理意义在二元混合体系中，某个物理量R只有两个可能取值a、b；且a出现的几率为x1，b

4、出现的几率为x2，则物理量R的平均值A有：A=ax1+bx2。而物理量R出现的总几率为1即x1+x2=1。用下面的实例具体说明之。例1平均摩尔质量为12g/mol的H2和O2的混和气体，求此混和气体中H2和O2的物质的量之比。2g/molx1+32g/molx2=12g/mol×1molx1+x2=1mol解析：设混和气体中H2的物质的量为x1，O2的物质的量为x2，混和气体的总物质的量为1mol。列方程组：H2  2           20          12O2 32           10（2）   用十字交

5、叉法求解：   所以：  即H2和O2的物质的量之比为2：1对于方程组（2）中x1、x2及十字交叉式中数字2、32、12的物理意义是什么，到此为止可能还不是很明晰。我们不妨对例1再作一次假设：设混和气体中H2的物质的量为y1，O2的物质的量为y2，混和气体的总物质的量为2mol。显然，可以列出这样一个方程组：  （3）    H2  4           40          24O2 64           20用十字交叉法求解：  即H2和O2的物质的量之比为2：1比较方程组（2）（3），方程组（2）中的x1、x

6、2及十字交叉式中数字2、32、12的物理意义就很明确了。x1和x2分别表示：以一定量（方程组（2）中为1mol；方程组（3）中为2mol）H2和O2的混和体系为基准物，组分1（H2）和组分2（O2）出现的几率；数字2、32、12表示：在一定量基准物质中，对于某个物理量R（方程组（2）、（3）中均为质量），纯组分1和纯组分2以及混和体系的值。因此只要按此思路能建立起方程组（1）的化学体系，都能用十字交叉法求解。值得一提的是，一定量的基准物质和物理量R应满足可加性，即应遵循算术加法（从方程组（1）的表达式即可看出）。这一点对于

7、十字交叉法应用非常重要，很多参考书上的错误就是由于不注意这一点而产生的。如同种溶质的不同物质的量浓度的溶液混合时，由于溶液的体积不具有可加性，即V1+V2≠V。因此不能建立上述方程组，所以有关溶液的物质的量浓度，溶液的密度等涉及溶液体积的问题，不能直接用十字交叉法求解。当然，如果只是进行近似计算，题意特别说明溶液的体积变化可以忽略不计的话，那么溶液的体积就具有可加性了，就可以应用十字交叉法解这类题目。四、十字交叉法应注意的问题（1）二元混和体系如何理解：十字交叉法研究的二元混和体系是指两个不同物质的混和体系或同一物质两个部

8、分的混和体系。我们用组分1和组分2分别表示二元混和体系的两个物质（或两个部分）（2）二个分量和平均量怎样确定：以在一定量（物质的量、质量等具有可加性的物理量）的二元混和体系中，对于某个具有可加性的物理量，纯组分1、纯组分2以及混和体系的值来确定二个分量和平均量。（3）谁比谁：二元混和体系产生的二个分量与