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时间:2020-06-02
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1、初中数学竞赛点播---------辅助圆内容提要1.经过两个点可以画无数个圆;经过三个点作圆,必须是不在同一直线上的三个点,可以作一个圆,并且只能作一个圆.2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理:①到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).②一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.③一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论:同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有:①同弧所对的圆周角相等.②圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧
2、、弦、弦心距的等量关系.④圆中成比例线段定理:相交弦定理,切割线定理.4.证明型如ab+cd=m2常用切割线定理例题例1.已知:点O是△ABC的外心,BE,CD是高.求证:AO⊥DE证明:延长AO交△ABC的外接圆于F,连接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圆的直径,∠ABF=Rt∠.∵BE,CD是高,∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B,C,E,D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠,即AO⊥DE.例2.正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内的一点,且∠OPB=45,PA
3、∶PB=5∶14,则PB=____cm. (1989年全国初中数学联赛题)解:∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt∠.在Rt△APB中,设PA为5x,则PB是14x.∴(5x)2+(14x)2=1989.解得x=3, 14x.=42.∴PB=42(cm).例3.已知:平行四边形ABCD中,CE⊥AB于E,AF⊥BC于F.求证:AB×AE+CB×CF=AC2.证明:作BG⊥AC交AC于G.∵CE⊥AB, AF⊥BC.∴A,F,B,G和B,E,C,G分别共圆. (对角互
4、补的四边形顶点共圆)根据切割线定理,得AB×AE=AG×ACCB×CF=CG×AC∴AB×AE+CB×CF=AC(AG+CG)=AC2.例4.已知:AD是Rt△ABC斜边的高,角平分线BE交AD于F.求证:AE2=AB2-BE×BF.分析:根据同角的余角相等,可证AE=AF.由射影定理AB2=BD×BC.故只要证AE×AF=BD×BC-BE×BF创造应用切割线定理的条件,作△ABC的外接圆并延长BE交圆于G,得F、D、C、G四点共圆.∴BD×BC=BF×BG.∴右边=BF×BG.-BE×BF=BF(BG-BE)=BF×EG从而转为要证AE×AF=BF×BG.即
5、只要证△AEG∽△BFA……(证明由同学自已完成)例5已知:从⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA,PB切点A和B,在AB上任取一点C,经过点C作OC的垂线交PA于M,交PB于N. 求证:OM=ON.证明:连结OA,OB.∵A,B是切点∴OA⊥PA,OB⊥PB.又∵OC⊥MN.∴A,M,C,O和B,N,O,C分别共圆.(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等,得∠OAC=∠OMC, ∠ONC=∠OBC.∵OA=OB, ∴∠OAC=∠OBC.∴∠OMC=∠ONC,∴OM=ON.练习661.已知:AD是△ABC的高,DE,DF分别是△ADB和△ADC的高求证:B,C
6、,F,E四点共圆2.已知:两条线段AB和CD相交于点P,且PA×PB=PC×PD.求证:A,B,C,D四点共圆.3.已知:⊙O和⊙O,相交于A,B,过点A作一直线交⊙O于C,交⊙O,于D,分别过 点C和点D作⊙O和⊙O,的切线相交于点P.求证:P,C,B,D四点在同一个圆上.4.已知:E是正方形ABCD边BC上的一点,过点E作AE的垂线和∠C的外角平分线交于点F.求证:AE=AF.5.已知:M是平行四边形ABCD对角线AC上的一点,过点M画两组对边的垂线段分别交AB,CD于E,F交AD,BC于G,H.求证:EG∥FH.6.已知:△ABC的三条高AD,BE,C
7、F交于点H.求证:BH×BE+CH×CF=BC2.7.已知:AB是⊙O的直径,C是半圆上的一点,CD⊥AB于D,G是CD上的一点,AG的延长线交半圆于H.求证:CD2+AD2=AG×AH.8.已知:AD是△ABC的角平分线.求证:AD2=AB×AC.=DB×DC9.已知:凸五边形ABCDE中.∠A=3α,BC=CD=DE,∠C=∠D=180.=2α.求证:AC,AD,AE三等分∠A. (1990年全国初中数学联赛题)10.求证:圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证:圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知:圆
8、内接四边形ABCD中,由AB上一点M作
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