冯卡门-用数学武装工程科学.doc

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1、用数学武装工程科学*冯卡门（TheodorevonKármán） 人们常说，研究数学的主要目的之一是为物理学家和工程师们提供解决实际问题的工具。从数学的发展史看来，事实很清楚，许多重大的数学发现是在了解自然规律的迫切要求下应运而生的，许多数学方法是由主要对实际应用感兴趣的人创立的。然而，每个纯粹数学家都会感到，把数学研究局限于考察那些有直接应用的问题，对这位“科学的皇后”来说未免有点不公道，事实上，这位“皇后”的虔诚的膜拜者对于把他们的女主人贬黜为她的比较注重实际的、一时较为显赫的姐妹的“侍女”，经常感到忿忿不平。这就

2、不难理解为什么数学家和工程师持有争论不休的分歧意见了。两种职业的代表人物不止一次地表示了这种分歧意见。数学家对工程师说：我在坚实的基础上建造了一座大厦——建立在明确的公设上的定理体系。我深入分析了逻辑思维过程，确定是否存在可以认为是正确的（至少是可能正确的）的论述。我所关心的是，由我自己的思维确切定义的事物之间的函数关系，以及使我得以探索这种函数关系的种种方法，如果你们发现我所建立的概念、逻辑过程或方法能用于你们的日常工作，那我自然感到欣慰。我得到的所有结果任凭你们处置，但是得让我按自己的方式来追求自己的目标。工程师说

3、：你们的老前辈，那些伟大的数学家，他们的意见同你们可不一样。难道欧拉不是既致力于纯粹数学方面的发现，又从事工程装置的理论研究吗？涡轮机、柱的屈曲和打桩的基本理论方面，都有着欧拉的贡献。数学分析的发展是同物理学的发展特别是力学的发展分不开的。很难设想，要是没有为计算运动物体轨迹寻找数学工具的迫切要求，人们的头脑中会孕育有关微分方程的概念。倘若我们假定运动由某些基本的力学关系和几何关系确定，而这些关系在运动的每一瞬间都成立，就会自然而然地产生微分方程的概念。还有，变分法也主要是为解决物理问题而创立的，有时解决这些问题本身就

4、是目的，有时是为了实际应用。十八世纪和十九世纪的前几十年也许是数学科学突飞猛进的黄金时代，那时，纯粹数学与应用数学之间没有明确的界线。大师们把逻辑思维和直观创造力结合起来，创立了一系列方法和定理；大功告成之后，进行抽象思维的数学家着手致力于弥补逻辑推理方面的某些不足之处，把前一时期大师们的丰硕成果加以编纂，使之系统化。数学家：我觉得你低估了你所说的系统编纂工作的重要性。为了保证正确地应用微积分学和微分方程理论，绝对有必要精确地定义我们所说的极限过程，给出像无穷小、无穷大这样的术语的真正涵义，你说对不对呢？你大概不能把伽

5、利略称为抽象数学家或纯粹数学家吧！也许你还记得，正是伽利略指出了把相等和不等的观念应用于无穷量时必然会出现的矛盾。他注意到，你可以说整数比其平方数的个数多，因为每个平方数都是整数，但整数不全是平方数；你也可以说，平方数和整数的个数相同，这同样也是合理的，因为每一个整数对应着一个平方数。可公度性、可数性、连续统的逻辑分析、集合论以及近代的拓扑学，这些观念的建立是人类思维发展的关键步骤；其中有许多是没有自觉地考虑物理应用而独立地构想出来的。但是，即使从应用的角度看来，也有必要加固我们自己的大厦的基础，也就是说，改善数学的逻

6、辑结构。对级数收敛性条件（即允许进行逐项微分和积分的条件）不作精确的分析，谁也不可能有把握正确无误地运用级数。在具有想象力和直观天赋的人们完成主要工作之后，再开始寻求新发现的牢固基础，这是一种不正确的倾向。达朗贝尔就已经要求把微积分学建立在极限论的基础上了；按你的看法，柯西，勒让德和高斯无疑在富有创造性的数学天才之列，他们为数学从直观到严格的过渡做出了卓有成效的贡献。十九世纪后半叶，数学继续朝着当时的数学家（或许是乐观地）认定的完全合乎逻辑和绝对严格的伟大目标向前发展。然而，除了阐明基本原理之外，那个时期也为应用数学的

7、发展开辟了新的道路。比如说，你提到了微分方程，你们工程师从这一数学分支得益非浅。复变函数理论、微分方程按奇性的分类以及对这些奇性的研究，都是在你所说的系统编纂时期内发展起来的，难道你不认为这些正是建立微分方程这一数学分支的非常重要的步骤吗？这些理论把通过试凑求解微分方程的原始方式变成了全面了解整个领域的系统的方法。工程师：我同意你的观点，尤其是关于复变函数论的观点。确实，保角变换是解决无数物理问题的一种最有效、最优美的方法。我也同意你关于奇性分析具有根本重要性的看法。事实上，在非正则奇点附近，我们所用的图解法和数值解法

8、肯定会失效或不便于使用，从而必须求助于解析方法。不过遗憾的是，你们数学家有点像对人体疾病比对人体正常功能规律更感兴趣的医生，或者像关注人类思维病理失常而不去研究正常思维过程规律的心理学家。大多数情况下，我们必须研究“性质良好的函数”，希望有实用的方法相当有效地确定它们在某些待定情形中的性质。数学家答道：难道你们不会应用我们提出的求