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1、离散傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的集中形式及应用傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。由于自变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成儿种不同的变换对非周期的连续时间，连续频率・---・傅里叶变换正变换X(jQ)={.8汁8)x(t)*expA-jQtdt反变换X(t)=1/2〉{・8,+8}x(JQ)*e人j〉tdt练习一：时域函数：连续时间矩形脉冲频域：连续频率的非周期函数周期的连续性，离散频率----傅里叶级数周期为To的时间信号x(t)的傅里叶级数展
2、开的系数为X(jkQ0),构成的傅里叶变换对如下:正变换X(jkQ)={-T()/2,4-To/2}x(t)*expA-jkQotdt反变换X(t)=Ek={-8,+8}X(jkQo)*expAjkQot式中X(jkQ0)是以角频率Qo未见各的离散函数形成频域的离散频谱，与时间信号的周期之间的关系为。0=2口「=2^0.傅里叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为Q。整数倍的谐波，k为各次谐波序号。练习二时域：连续时间周期矩形脉冲频域：非周期的频域时域的周期性对应于频域的离散性非周期的离散时间、连续频率
3、…序列的傅里叶变换非周期离散时间信号的傅里叶变换就是序列的傅里叶变换正变换X(eAjw)=En={-00,+00}x(n)eAj<*>n反变换x(n)=l/2n{-n,+n)X(eAj弓))eAjnd(，)式中，3是数字频率如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为T”抽样频率为f>l/Ts,抽样角频率为QQn/Ts，由于数字频率3与模拟角频率Q之间的关系为3=因此抽样数字频率a)s=QsTs=2n,则上面的变换对也可写成正变换X(eAjOT)=Ln={-oo,+oo)x(nT)eAjnQT反
4、变换x(nT)=l/Qs{-Qs/2,+Qs/2}X(eAjQT)eAjnQTdQ练习三时域：对连续时间矩形脉冲按照Ts为周期进行采样频域：以O’为周期严拓时域的离散造成频域的周期严拓，时域的非周期性对应于频域的连续性离散时间，离散频率离散傅里叶变换由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换前面的
5、讨论己经得出结论:时域的周期性导致频域的离散型，时域的连续函数在频域形成非周期频谱；而时域的离散型造成频域的周期延拓，时域的非周期性对应于频域的连续函数形式。那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换，应该形成时域和频域都具有周期性的函数。如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为L则频率函数的周期为号2n/Ts,如果频率函数也是离散的，其采样间隔为。则时间函数的周期为T0=2h/Q0,当时间函数序列一个周期内的抽样点数为N时，有N=T/Ts=d/Q。表明在频域中频谱函数的一个周期内的抽样点数
6、也为N,即离散傅里叶变换的时间序列和频率序列的周期都是N,可以得到表示于一个周期内的常用的离散傅里叶变换对如下：正变换X(k)=Ln=(O,N-l}x(n)eA-j2n/Nnk反变换x(n)=1/NZn={0,N-1}X(k)eAj2n/Nnk时域：对周期矩形脉冲信号以Ts为周期进行抽样，得到离散时间序列频域：是傅里叶级数以周期Qs的延拓傅里叶变换形式的归纳时域频域连续性和非周期性非周期性和连续性连续性和周期性To非周期性和离散型(Qo=2n/T°)离散型和非周期性周期性Qs=2n/Ts和连续性离散型T$和周期性
7、To周期性。s=2时Ts和离散型Qo=2兀/To由于长度为N的有限长序列可以看做是周期为N的周期序列的一个周期，因此利用DFS计算周期序列的一个周期，就可以得到有限长序列的离散傅里叶变换正变换X(k)=£n=(O,N-l}x(n)eA-j2n/Nnk=X(k)=2n={0,N・l}x(n)Wgxp人nkx(n)=l/NZn={O,N-l}X(k)WNexpA-nk定义几个与X(k)相关的序列幅度谱A(k)=IX(k)l相位谱(k)=arctan{X!(k)/XR(k)}功率谱S(k)=A(k)*A(k)离散
8、傅里叶变换的物理意义及隐含的周期性1物理意义设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示X(eAj3)=£n={O,N-1}x(n)eAj3nX(z)=En={O,N-l}x(n)zA-nX(k)=Ln={0,N-1)x(n)eA-j2n/Nnk单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(此)在
