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1、高三数学归纳法及应用举例复习指导重点难点分析：(1)数学归纳法的第一•步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。(2)归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。(3)归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。(4)数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一•起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。典型例题：例1.用数学归纳证明：(1
2、，2,-2・32)+(3・4‘-4,5，)+…+[(2以-1)(2疔-2以(2以+1)勺=-n(n+l)(4n+3)c证明：①当n=l时，左边=1®-2项=-14,右边=.i(i+i)(4+3)=.14,等式成立。②假设n=k时等式成立，即(1•2之-2，3,)+(3・平-4・5之)+…+[(2上-1)(2上尸-2机2上+1)勺=.k(k+1)(4k+3)。那么n=k+l时，(12?-2•3?)+(3•4?-45?)+・・・+[(2左-1)(2幻？-2k(2k+I)2]+[(2k+1)(2k+2)2.(2k+2)(2k+3)2]=-k(k+1
3、)(4k+3)・2(k+1)(41?+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k24-3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+l][4(k+1)+3],等式也成立。由①②知，当n《N'时等式成立，..・原命题成立。例2.试证Sn=n3+(n+l)3+(n+2)3能被9整除。证明*①n=l时，Si=4X9,能9整除。②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+i=(k+l)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3.k5=Sk+9(k3+3k+3)
4、由归纳假设知Sk+i能被9整除，也就是说n=k+l时命题也成立。综上所述：命题成立。点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把。=1<+1时的式子分成两部分，其中一•部分应用归纳假设，另一•部分经过变形处理，确定其能被某数(某式)整除。例3.通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n'n+2)个部分。证明：设适合条件的n个平面把空间分成Pn个部分，.•.Pn=i『-n+2%1当n=l时，pi=l・l+2=2,显然符合条件,故命题成立。%1假设当n=k时，命题成立，即满足命题条件的k个平面把空
5、间分成pk=k2-k+2个部分，那么当n=k+l时，即如果再有一个平而a适合条件，那么，在平而a上必有k条交线，・.・平而a被分成2k个部分，/.pk+i=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+23:.当n=k+1时，pn=n2-n+2成立□综上①②可知对任何n《N‘，命题成立。点评：儿何计数问题应抓住所划分的线段、平而、空间的个数与交点、交线间的关系等。....1111、々例4.若＞[、等式+++...+＞睛对一切正臼然数n都成立，求自然数an+1以+2以+33以+124的最大值，并证明你的结论。111.a26Ka—证明
6、：n=1时，-~~+-~~-+—-~~-＞—，即＞—，所以av26,而a£N,所以取a=25,1+11+Z3X]+]Z424Z4下面用数学归纳法证明:—…+二>癸以+1以+23以+124c⑴n=l时,已证。111、25⑵假设当n=k时，有：闩++慕’则当n=k+l时，有111111++•.•++++(jfc+1)+1(jfc+1)+23A+13/c+23A+33侬+1)+1z111、,1111、=(++…+)+(++—jk+1左+23人:+13i+23左+33左+4k+125r112n256(k+1)2243k+23A+43(A+1)J249
7、A2+18^+83(k+1)256(A+1)2252225〉+—=+—=249妒+1海+93Q+1)243侬+1)3伏+1)24由一以一2由此推判Z=(T+2-1+3-1…以-l)lga=Iga9乙下面用数学归纳法证明。I2-1-2(1)n=l时，——-—Iga=-Iga,想正确。好_止一2(2)假设n=k时，猜想正确，即与=—-一Igtx,乙_,11、1k2~k~2（上+1），—（上+1）—2则气+1=或+（上+1一1）也々=lga+klga=lga即n=k+l时,猜想也正确。々2—)2—2由(1)(2)知，对于任意nEN'，都有％=Iga
8、o训练题:1•用数学归纳法证明凸n边形的对佑线条数f(«)=—n(n-3)(n〉4,nEN)时，f(k+i)与f(k)的2关系是。2.k为正偶数，p（k）表示等式1
