解斜三角形及其应用错解分析.doc

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1、解斜三角形及其应用错解分析解斜三角形及某应用问题难度大、综合性强、解题有一定的技巧，学生在解题时，经常因为审题不细、考虑不周、方法不当等原因而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考。一、已知条件弱用例1.在不等边△ABC中，a为最大边,如果a20。贝Uj222cosA=>0,由于cosA在(0°,180°)上为减函数2bc且cos90°=0,AA<90°又VA^jAABC的内角，.・.0°

2、：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是。为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得A<90°o又•:a为最大边，.・・A>60°o因此得A的取值范围是(60°,90°)。二、三角变化生疏例2.在左ABC中，2若二=虹4_,试判断^ABC的形状。b~tanB错解：由正弦定理,gsin2AtanA得=sin2BtanBniIsin2AsinA即..=sin~BcosAcosB••・人八・d八•,•sinA>0,sinB>0sinB/.sinAcosA=sinBcosB,即

3、sin2A=sin28。.・.2A=2B,即A=B。故ZABC是等腰三角形。辨析：由sin24二sin28,得2A=2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质,三角变换生疏。正解：同上得sin2A=sin2B,/.2A=2k7r+2B或2A=2k丸+丸一2B(kcZ)。V0

4、150°—A。由正弦定理，得~^—=~——%=灰+半sinAsin(150l-A)sin30a=2(V6+V2)sinA,/7=2(V6+V2)sin(150°-A)又VsinA<1,sin(150°-A)

5、°,...A+B=150°,B=150°—A。由正弦定理，得」..八。sinAsin(!50l-A)sin30因此。+人=2(V6+V2)[sinA+sin(150°一A)]=2(76+72)-sin75°cos(X-75°)=4(去+扼)足必•cos(A-75°)4=(8+4V§)cos(A-75。)<8+4V3「•a+b的最大值为8+4o四、未挖掘隐含条件例4.已知在▲ABC中，a=V3,b=J^,8=45°,求角A、C和边c.分析：在AABC中，已知两边和一边的对角，解三角形可先用正弦定理求出角A,利用A+

6、B+C=180°,求得C,进而求出边c.错解：由正弦定理—^―=-^―,WsinA=—.所以，A=60°,C=180°—45°—60°=75°,sinAsinB2所以，。=冬MKsinB剖析：上述解法中，用正弦定理求C时，丢了一个解，实际上，由sinA=±.可得A=60°或入=2120°,故C=75°或15°.正解：由正弦定理sinA61—-一，得sinA=、二.因为，a>b,所以，A=60°或A=120。，当A=60°时,sinB2C=180o-45°-60o=75°,_Z?sinC_V6+V2sinB20.r

7、0000ftsinC76-V2当A=120°时，C=180°—45°—120°=15°,c==.sinB2点评：已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一对角，此时解不确定，应注意讨论。五、方法不当例5在AABC中，A=60°,b=1,5,=V3,求叮"危：的值。八帕。sinA+sin8+sinC错解:VA=60°,b=1,=V3，又=-Z?csinA,ZA/iDtZA/IOC2AV3=-csin60°,解得c=4。2由余弦定理，得a=y/b2+c2-2bccosA=Jl+16-8cos60°=VT3又由正弦定理，

8、得sinC=^L,V39sinB32V39ci+b+cV13+1+4sinA+sinB+sinC733622V39V39辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由己知可得。=4,。=应。由正弦定理，得CD。V132V39sinAsin60°3・Q+/?+C_on_2V39••—2.1—GsinA+sin3+sinC3