二次根式难题选.pdf

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1、初中数学⼆次根式难题选根式的化简求值4−10+25+4+10+251.化简：
．【解析】设原式
=x，则有：2x=(4−10+25)+(4+10+25)+2(4−10+25)(4+10+25)
=8+26−25=8+2(5−1)
2=6+25=(5+1)
，显然有
x>0，所以原式
=x=5+1．3320+142+20−1422.化简：
．333(a+b)=a+b+3ab(a+b)【解析】利⽤
来解．33设
x=20+142+20−142，两边⽴⽅并整理得33
x=40+3⋅8⋅x，3即
x−6x−40=0．2(x−4)(x+4x+10)=0将⽅

2、程左端因式分解有：
．22因为
x+4x+10=(x+2)+6>0，所以
x−4=0，
x=4．所以原式
=4．2+3⋅2+2+3⋅2+2+2+3⋅2−2+2+33.计算：
．【解析】不断利⽤平⽅差公式简化问题22⎛⎞=2+3⋅2+2+3⋅2−⎜2+2+3⎟⎝⎠原式
=2+3⋅2+2+3⋅2−2+3

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初中数学⼆次根式难题选=2+3⋅2−3

=4−3=1．4.计算：11111+++!++!+31+353+3575+57(2k+3)2k+1+(2k+1)2k+3(2n+3)2n+1+(2n+1)2n+3
【解析】先将通项的分母有理化，并

3、裂项，得1(2k+3)2k+1+(2k+1)2k+3
(2k+3)2k+1−(2k+1)2k+3=22(2k+1)(2k+3)−(2k+1)(2k+3)
(2k+3)2k+1−(2k+1)2k+3=2(2k+1)(2k+3)
1⎛2k+12k+3⎞=⎜−⎟2⎜⎝2k+12k+3⎟⎠
，1⎛11⎞1⎛11⎞1⎛11⎞1⎛1⎞2n+3−2n+3=⎜−⎟+⎜−⎟+!+⎜−⎟=⎜1−⎟=原式
2⎝13⎠2⎝35⎠2⎝2n+12n+3⎠
2⎝2n+3⎠
2(2n+3)．221a1aa++=a+−22b(ab+1)bab+15.求证：
．2⎛1a⎞⎜a+−⎟

4、⎝bab+1⎠【解析】
2⎡2⎤21aaaa=a+++2⎢−−⎥22b(ab+1)⎢⎣bab+1(ab+1)b⎥⎦
2221a⎡a(ab+1)−ab−a⎤=a+++2⎢⎥22b(ab+1)⎢⎣(ab+1)b⎥⎦
221a=a++22b(ab+1)
，
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初中数学⼆次根式难题选221a1aa++=a+−22b(ab+1)bab+1上式两边开平⽅，得
．【评注】等式证明时，可以逆向进⾏，需要注意等价性．331++333236.已知
a=4+2+1，求
aaa的值．【解析】利⽤⽴⽅差公式处理得：13(32−1)a=2−1=2−1
，即
a．所以

5、3311⎡31⎤3⎡332⎤++=3++=2−13+32−1+2−1=32−1322+32+1=2−1=123a⎢⎣aa2⎥⎦()⎢⎣()()⎥⎦()()
aaa


．13133【评注】本例若使⽤
(+1)=+++1会更快解决．32aaaa⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥+!+⎢⎥7.计算：
⎣2−1×2⎦⎣3−2×3⎦⎣4−3×4⎦⎣2013−2012×2013⎦．【解析】处理通项：⎡⎤⎡1⎤⎢1⎥=⎢⎥⎡n+1+n⎤⎡n⎤⎢n+1−n×(n+1)⎥⎢n+1(n+1−n)⎥=⎢⎥=⎢1+⎥=1
⎣⎦
⎣⎦
⎣n+1⎦⎣n+1⎦，所以⎡

6、1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥+!+⎢⎥
⎣2−1×2⎦⎣3−2×3⎦⎣4−3×4⎦⎣2013−2012×2013⎦=1"+#1+$!#+%1=2012
2012
1．22x2+3x4y2+y2+3x2y4=8x3+y38.若
x>0，
y>0，且
，求
的值．22x3=py3=q【解析】设
，
，那么
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10初中数学⼆次根式难题选4224342332324332xy=xy=pqxy=xy=pq
，
．2323x=py=q所以
，
，于是，原⽅程即3232p+pq+q+pq=8
，pp+q+qp+q=8
，(p+q)p+q=8
．3(

7、p+q)2=8
，222p+q=83=4x3+y3=4
．即
．2aba+x+a−xx=29.已知
a>0，
b>0，当
b+1时，求
a+x−a−x的值．22ab2aba(b+1)=(b+1)ax=a+x=a+=2222【解析】当
b+1时，
b+1b+1
b+1．①b−1aa−x=2同样（但请注意开根时的⾮负性保证！）
b+1．②将①，②代⼊原式有(b+1)ab−1a+22b+1b+1=(b+1)ab−1a−22
b+1b+1

;⎧b,b1⎪(b+1)+b−1=⎨1=⎪,b<1
(b+1)−b−1
⎩b1f(x)=32323210.已

8、知函数
x+2x+1+x−1+x−2x+1，
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初中数学⼆次根式难题选f(1)+f(3)+f(5)+!+f(2k−1)+!+f(