最优化方法综述.doc

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1、最优化方法综述L引论1.1应用介绍最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中,怎样安排各种农

2、作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势;军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。1.2优化的问题的基本概念工程设计问题一般都可以用数学模型来描述，即转化为数学模型。优化设计的数学模型通常包括设计变量、目标函数和约束条件。三个基本要素。设计变量的个数决定了设计空间的维数。确定设计变量的原则是：在满足设计基本要求的前提下，将那些对设计目标影响交大的而参数选为设计变量，而将那些对设计目标影响不大

3、的参数作为设计变量，并根据具体情况，赋以定值，以减少设计变量的个数。用来评价和追求最优化设计方案的函数就称为目标函数，目标函数的一般表达式为/(x)=/(x1?x2<--xn)o优化设计的目的，就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值。所谓最佳值就是极大值或极小值。在设计空间中，虽然有无数个设计点，即可能的设计方案，但是一般工程实际问题对设计变量的取值总是有一些限制的，这些限制条件显然是设计变量的函数，一般称之为优化设计问题的约束条件或约束函数。在优化设计问题中，约束条件有两种表现形式，一种是不等式约束，其一般表达式为：gl((x)<0,(w=1,2,..•/〃)，另一种是等

4、式约束，即/?v(x)=0,(v=l,2,..・pv〃)。由设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素所组成的工程优化设计数学模型所表达的意思是：在满足一定的约束以偶案件下，寻求一组设计变量，使得目标函数取得极小值或极大值。在设计空间中，每一个不等式约束条件都把设计空间划分成两部分，一部分是满足不等式约束条件的，另一部分是不满足约束条件的,两部分的分界面就是g(x)=O所形成的曲面，称为约束面。在二维设计空间中约束面是一条曲线或直线，在三维设计空间中则是一个曲面或超曲面。一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一个复合约束边界。满足约束条件的区域称为可行域，而不满足约束条件的区

5、域称为非可行域。可行域内的点称为可行点。1.3分类：若工程优化设计问题的数学模型中只有目标函数而没有约束条件，则称之为无约束优化问题。无约束优化问题的目标函数如果是一元函数，，则称之为一维优化问题，他的求解方法称之为一维搜索方法。对于约束优化问题，课按其目标函数和约束函数的特性，分为线性规划问题和非线性规划问题。如果目标函数和所有的约束函数都是线性函数，贝U称之为线性规划问题；否则称之为非线性规划问题。对于目标函数是二次函数而约束函数都是线性函数这一类问题，一,般称之为二次规划问题。另外，还有整数规划、几何规划和多目标规划等。线性规划和非线性规划是数学规划中欧偶那个的两个重要的分

6、支，在工程实际问题中均得到了广泛的应用。1.4凸函数、凸规划:工程优化设计问题大多是非线性规划问题，其数学本质是多元非线性函数求极值问题，如果函数在整个区域有两个或两个以上的极值点，则称每一个极值点为局部极值点。在整个可行域中，比较所有的局部极值点，可得到一个最小或最大的局部极值点，称为全局极值点。但基于数学规划的工程优化设计方法一般只能求得为题的局部极值点，只有当函数具有凸性的情况下，局部极值点才是全域极值点。对于一元函数来说，在某区间内，如果函数的曲线是下凸的，即在刺区间内，一元函数曲线上任意两点间相连的弦线，总不会位于这两点间函数曲线的下面，则称此一元函数具有凸性，或称此函

7、数为凸函数;反之，若函数曲线上任意两点间相连的弦线，总不会位于这两点间的函数曲线的上面，则称此函数具有下凸性，或称此函数为凹函数。如果约束优化问题minf(x)xeRs.t.gu<0(w=l,2,---,zn)中的目标函数f(x)是凸函数，所有的不等式约束也都是凸函数，则称此约束优化问题为凸规划。凸规划具有一个重要特性，这就是：凸规划的局部极小值一定是全域极小值。对于凸规划问题，只要求出一个局部极小值,它就是全域极小值。所以，优化理论与方法常限于讨论凸规划问题，故称为凸规划理论