激发兴趣、启迪智慧的“周期现象”.pdf

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1、乐学·魅力数形激发兴趣、启迪智慧的“同期现象"黄安成大千世界，无奇不有，各种美妙奇特的f(一0．5)一一_，(0．5)一一0．5．现象层出不穷，“周期现象”就是其中的一点睛不知道函数的解析式的厂(z)被种，如四季变化，花开花谢，月圆月缺，日出称为抽象函数，但抓住两点，即“周期性”和FJ落，潮涨潮落，等等．三角函数则是“周期“奇函数”，问题则迎刃而解．关键是须将7．5现象”在数学世界中的一个“杰出”典型．但变换到区间[O，1]上，这一点具有普遍意义．除了三角函数以外，在其他问题中是否也存明白了这点，这类题就不会对我们构成任何在“周期现象”呢?回答是不仅存在，而且丰“威胁”．请参见后面的

2、例6、例7．富多彩、变化多端．因此探索、研究、剖析、解答这类问题，将使我们眼界高远、思维活跃，例2在数列{口)中，若al--2，n-3，同时也会使我们深深体验和感悟到数学学当≥2时，口+1是乘积口·n一1的个位数，习和问题解决不是一件枯燥乏味的苦差事，而是一种妙趣横生的高雅享受．数学大师陈省身先生也说过“数学好玩”的至理名言．由略解当≥2时，a+是乘积口·口一1于在考察基础知识、基本技能、应变能力及的个位数，且a·a。一6，所以n。一6；依次类创造思维等方面有着独特的功效，所以这类推，口2·口3—18，即口4—8；口3·以4—48，最p问题顺理成章地成了各类数学试卷中的“常口5—8；

3、4·口5—64，即口6—4；n5·a6—32，即客”．下面精选的数例将围绕“周期现象”为n7—2；n6·以7—8，且口口8—8；7·口8—16，丑口我们展现出一幅引人人胜的画卷．n9===6；n8·。9—48，即10—8；口9·以1o一48，0例1定义在实数集R上的奇函数即a一8．发现除a，a。外，从口。起的每连续6项的值依次为6，8，8，4，2，8．-厂(z)满足f(x+2)一一，(1z)，当0≤lz≤1时，厂(．z)一z，则厂(7．5)一．又2012—2—2010，2010—6×335，故2o12—8．略解因为f(x+2)一一f(z)，所以f(x+4)一fE(-z+2)+2]一一

4、f(-z+2)一点晴“a+一是乘积n·a的个位厂(z)，所以厂(z)是以4为周期的周期函数，数”，是一个新颖有趣的约定．通过枚举进行则厂(7．5)一厂(7．5—8)一厂(一0．5)．探索，发现了周期性，即成为此题的突破口．又f(-z)是奇函数，且当0≤z≤1时，要注意的是，应排除n，n，从a。开始才具备厂(z)一z，故“周期现象”．lc‘f⋯}；⋯一⋯fIl震i乐学·魅力数形例3在数列{}中，。一百1，当≥21。若口一，化为a～日+1—0，无略又时，a一l一—1I实根；，数列{口)前项的和为S，口一1解+2。若n一，化为口一口+1—0，无则S2o12：==已．一实根；一3。若L一，化

5、为a2～。+1—0，一一一无实根．一1广，：H一故集合A中至少有三个元素．一j1一一1一一c一an一2l一一a点睛从n到，再到，转了一1一一1口圈，又回到原来的“出发点”，周而复始．但造a，则数列{a)的周期为3．成周而复始的原由又与前面各题不同，在判而s3一1+(一1)+2一3，又2012=断三个元素互不相等时，又用到了反证法，故知识和技能的“营养”极为丰富．3X670+2，故$2o12—67o×3一丢一．例5若对于函数(z)，当∈N时，点睛三道题目所求不同，例1求的是有fo(z)一sinz，f1(z)一(z)，f2(z)一函数值，例2求的是数列某项的值，例3求的f(z)，⋯，f，

6、汁(z)一f：(z)，求f。。。(z)与则是数列前若干项的和，且形成“周期现象”f20l2(z)．的路径也不同，但在“周期现象”上又是一致的，殊途同归．略解由已知fo(z)一sinx，依次可得f1()一(sinz)一COSX，f2(z)一(cos)例4设集合A一{zlfir，且≠1)满一一sinz，f3()一(一sinz)一一COSz，足条件：若z∈A(x≠1，且z≠o)，则。fd(z)=(一COSz)一sinz，⋯．则知()是以4为最小正周期的周期∈A．现已知口∈A(Ⅱ≠1，且n≠0)，试问集函数，故f2o11(z)一f3(z)===一COSz，合A中至少有几个元素?为什么?f2o

7、12(z)一f4(z)：==sinX．略解由已知口≠1，n≠0，则∈上——a点睛连续求导，竟惊喜地发现(z)A，又1工一∈A，而盈1—一sinz—fo(z)，回到了“起点”，须注意的l口1n—l1是，“起点”不是f(z)而是fo(z)．此题虽出1一口口现了三角函数，但并未用到三角函数本身的——一口，则在集合A中，三个元素n，口一n十l周期性。L，不断循环重复出现．例6-厂(1z)是定义在R上的函数，且1～na但这三个数值之间会不会有相等的可f(x+2)一一