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1、解析几何总结第七章直线和圆的方程【概念】一、直线的方程直线的倾斜角与斜率1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的
2、倾斜角为；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是的直线没有斜率.3.斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式：（x1≠x2）推导：设直线P1P2的倾斜角是α,斜率是k，向量的方向是向上的（如图7—3（1）~（2））.向量的坐标是.过原点作向量=，则点P的坐标是，而且直线OP的倾斜角也是α.根据正切函数的定义，即（x1≠x2）。同样，当向量的方向向上时也有同样的结论.4.斜率公式的形式特点及适用范围：①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直
3、线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;④当x1=x2,y1≠y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角α等于，没有斜率.直线的方程1.直线方程的点斜式:其中为直线上一点坐标,k为直线斜率.推导:若直线l经过点,且斜率为k，求l方程.设点P(x,y)是直线上不同于点P1的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得,可化为.说明:①这个方程是由直线上一点和斜率确定的;②当直线l的倾斜角为0°时,直线方程为;③当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程
4、不能用点斜式表示.这时直线方程为:.1.直线方程的斜截式:说明:①b为直线l在y轴上截距；②斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；③当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.2.直线方程的两点式:其中是直线两点的坐标.推导:因为直线l经过点，并且，所以它的斜率.代入点斜式,得,.当.3.直线方程的截距式:,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.4.直线方程的一般式:其中A、B不同时为0.5.直线和二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.因为在平面直
5、角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在α≠90°和α=90°两种情况下,直线的方程可分别写成及这两种形式.它们又都可变形为的形式,且A、B不同时为0.②在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.因为x、y的二元一次方程的一般形式是,其中A、B不同时为0,在B≠0和B=0的两种情况下,一次方程可分别化成直线的斜截式方程和表示与y轴平行或重合的直线方程.两条直线的位置关系1．直线到的角两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角.在图7—13中,直线
6、到的角是θ1,l2到的角是θ2.2．直线到的夹角:如图7—13,到的角是θ1,到的角是π-θ1,当与相交但不垂直时,θ和π-θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线⊥时,直线l1和l2的夹角是.说明:θ1＞0,θ2＞0,且θ1+θ2=π3．直线l1到l2的角的公式:.推导:设直线l1到l2的角θ，.如果如果,设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2，则.由图（1）和图（2）分别可知于是.4．直线l1和l2的夹角公式:.这一公式由夹角定义可得.5．两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是如果这两条直线相交,
7、由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解.6．在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P的直线l的距离呢?方案一:根据定义,点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长(如右图).设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为,根据点斜式可写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点
8、Q的坐标;由此根据两点距离公式求出,得到点P到直线l的距离d.师：此方法虽思路自然，但运算较繁.下面介绍另一种求法.方案二:设A≠0,B≠0,这时l与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R(x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S(x0,y2),由所以,由三角形面积公式可知:所以,.可证,当A=0或B=0
