《解析几何》教案

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1、《解析几何》教案授课时间第13次课授课章节§3.4空间直线的方程任课教师及职称许新斋教授教学方法与手段课堂讲授课时安排3使用教材和主要参考书《解析几何》吕林根等编，高等教育出版社；《解析几何》吴光磊等编，人民教育出版社；《解《解析几何》丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求：1．掌握空间直线的点向式方程、两点式方程的求法。2．会空间直线的标准方程、一般方程的互化教学重点、难点：重点：空间直线的各种方程的求法难点：空间直线的标准方程、一般方程的互化教学内容：§3.4空间直线的方程一．直线的点向式方程

2、（由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程）1.直线的方向矢量：且注.显然，任何一个与直线平行的非零矢量都为的方向矢量.一条直线由它过的一点和它的一个方向矢量完全唯一确定。.直线的方向矢量的坐标或与它成比例的一组数称为直线的方向数，也称为的方向。由于的方向数与的方向矢量的坐标成比例，故我们将同表以为方向矢量的直线的方向数。2.点向式方程设为一空间直线，为的一个方向矢量。。取标架.设，为上的任意点，。与共线故由空间曲线的向量式参数方程的定义知（3.4-1）为的矢量式参数方程。其中为参数，它可取任意实

3、数。注意为以所过点为终点的径矢。为的方向矢量。88《解析几何》教案设，则，再设，则由（3.4-1）得：（3.4-2）.称其为的坐标式参数方程。由（3.4-2）消去参数，则得（3.4-3），称其为的标准方程或对称式方程。（3.4-1）（3.4-3）都称为的点向式方程。注.若已知直线过，方向矢量为，可立即写出的方程（3.4-2）和（3.4-3）。注.在直角坐标系下，直线的方向矢量常取单位矢量，此时的参数方程为：（3.4-7）或（3.4-8）的对称方程为：（3.4-9）此时参数的几何意义为：，即为和的距

4、离。注.在直角坐标系下，设为直线的方向矢量，的方向角称为的方向角。的方向余弦称为的方向余弦。由于也是的方向矢量，而的方向角为，故也可看作的方向角；也可看作的方向余弦。设为直线的方向数，则或为的方向矢量，由定义或的方向余弦即为的方向余弦。故的方向余弦与方向数之间有以下关系：（Th1.7.6）或88《解析几何》教案二．直线的两点式方程显然直线完全由它通过的两点唯一确定。设直线过两点，求的方程。令，取为的方向矢量.以所过点为终点的向量为.故由直线的点向式方程：得的矢量式参数方程：（3.4-4）的坐标式参

5、数方程为：（3.4-5）的对称式方程为：（3.4-6）方程（3.4-4）（3.4-6）都叫做的两点式方程。三．直线的一般方程1.概念：任意一条直线可看成某两个相交平面的交线。设（3.4-11）（在仿射坐标系下的方程）由于相交，故这里满足方程组可用方程组（3.4-11）表示，称其为的一般方程。四．直线的射影式方程设：（3.4-3）（在仿射坐标系下的方程）则不全为零（为的方向矢量，它非零）不妨设.将（3.4-3）改写为，令，则（3.4-12）（显然这是一种特殊的一般方程）注.由以上讨论可见（3.4-3

6、）表示的直线88《解析几何》教案可看作（3.4-12）中两个方程表示的两个平面的交线。这两个平面通过该交线且分别平行与轴和轴，在直角坐标系下，平面与平面垂直（），平面与平面垂直。故称（3.4-12）为的射影式方程。由以上讨论可知如何将的标准方程化为射影式方程。五．化直线的一般方程为标准方程的方法直线的一般方程（3.4-11）也总可化成标准方程（3.4-4）的形式，下面证明之。设的一般方程为：（3.4-11）则因此，不全为零，否则，由得，即.由得，即.故，即，与矛盾。不失一般性，设（为的系数行列式，

7、那么由（3.4-11）可分别消去得到的射影式方程）将（3.4-11）写成（*）由克莱姆法则解出得：88《解析几何》教案以上为的射影式方程，令，，则得的标准方程：（**）注.由的标准方程（**）可知，若的一般方程为（3.4-11），则，，即为的一个方向向量的坐标，即为的一组方向数。注.以上的证明给出了化直线的一般方程为射影式方程和标准方程的方法。哪两个变量的系数行列式不为零，分别消去这两个变量即得的射影式方程，再由射影式方程得标准方程。也可如下求的标准方程：不妨设，在方程（*）中取为任意指定的值（特

8、别地可取）。解（*）得，那么为方程组（3.4-11）的一个解。点在上。再由注得一组方向数。于是由直线的点向式方程（3.4-3）得的标准方程为：。例.化直线的一般方程为射影式方程和标准方程。解法一.的方向数为的系数行列式（取为自由未知量）取得，解得故为上一点。故的标准方程为：88《解析几何》教案由得。由得。为的射影式方程。解法二.（2）+3（1）：（消去），（1）-（2）：（消去）为的射影式方程。或的系数行列式，为的射影式方程（既是对面又是对面的射影标面，故只有一个射影式方程）由得由