谈谈函数周期的学习-论文.pdf

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1、WENLIDAOHANG函数周期的学习文／4a金峰我们知道，型如f(x)=Asin(ox+6)及f(x)=Asin(o~x+6)(其中A，【1)，为常数，且A≠0，to>O，X∈R)的函数周期为T=。因此，在求函数的周期时，一般应先将函数化简成上述形式，从而将问题转化为可用公式求解的问题。例1求下列函数的周期：(1)y=sin3x—cos3x；(2)y=tan2x—cot2x；(3)y=sin％+cos6x；(4)y=lsinxl+lcosxl。略解：(1)y=、／sin(3x一)，所以其周期为T=。(2)y_-一2cot4x，所以其周期

2、为T=孚。(3)y=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sinZx+cos2x)一3sinc。s2x=1—3()=专3cos4x，所以其周期为T=2否则f(x+rI’)就不存在，就没有意义了。因此，周期函数的定义(4jY=lsinxI+lcosxl_％／(Isinxl+lcosx1)2：、／l+Isin2xI=域必须是无限集。换句话说，若一个函数的定义域是有限集，则它一定不是周期函数。、／1+x1-cos4所以其周期为T=手。二、周期函数不一定都有最小正周期但是，在将一个函数进行转化的过程中，应注

3、意考虑转教材中明确指出：对于一个周期函数ffx)，若在它所有化是否等价。特别是其定义域有无变化，若其定义域发生了的周期中，存在一个最小的正数，则这个正数就叫做ffx)的最变化，再用周期公式就不一定得到正确结果。这时，我们应小正周期。但并不是所有的函数都有最小正周期，例如，常数结合函数的图像求函数的周期。函数x)：c(xR)，对任何一个非零常数T，等式x+=f(X)对例2求函数f(、x)=的周期。一切XR恒成立，故它是周期函数，但它没有最小正周期。SeCX(1+taJ1l三、与三角函数复合的函数不都是周期函数错解：f(x)=4sinxcos

4、xcos2x=sin4x。所以其周期为T=。例如，函数f(x)=sin、／x就不是周期函数。下面利用周期的定义给出证明。剖析：若f(x)的周期为，因为x=0在函数的定义域内，汪明：(用反证法)假设f(x)=sin、／是周期函数，则存在则有f(x)=-5-)。而事实上，f(o)=o，)不存在，故0)=f()不常数T>O，使得对一切x∈【0，+。。)，有：f(x+2_f(x+=x)。令x=0得：sin=sin、／=0，所以，：nfn∈成立。所以不可能是其周期。故上述结果是错误的。N)、／厂亍一=m盯(m∈N{o产生错误的原因在哪里呢?原因在于

5、未考虑函数的定两式相除，得：、／2=。义域{xIx∈R，x≠klr+q盯-，k∈Z】，上述变化是不等价的。m该式右边是分数，是一个有理数；而左边、／是无理若画出f(x)=sin4x，x≠k'rr+，k∈Z的草图，由图像易m数，显然不成立，因而假设不成立。从而f(x)=sin、／x不是周知，其周期为T='rr。期函数。(作者单位：山东省淄博市第四中学)四、函数周期的求法