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1、高考中的平面向量问题天津四中李晖近几年来，平面向量成为高考考查的重点，分值逐年增加。考查地重点一方面是平面向量的基本概念及基本运算能力；另一方面平面向量的坐标运算和平面向量的数量积的概念、性质及运算律也是考查的重点。向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究与向量相关的问题时，一定要结合图形进行分析、判断和求解，这是研究平面向量问题的重要方法和技巧。OABMP图11．(2006年湖南卷·理15)如图1,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是__________;当时,的取值范围是__________.解析：
2、依题意，在射线OM上取由平行四边形法则，可得到，其中，则令，则，由此可得当时，说明：本题主要考查平面向量的基本定理，同时，要利用实数与向量的积的概念结合图形分析实数m和n的取值范围，从而求出x和y的取值范围。2．(2006年陕西卷·理9)已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形ABCC.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：，可知由向量的数量积的定义可知，，得到+=0所以，cosC-cosB=0,其中B,C为△ABC内角，则∠C=∠B故△ABC为等腰三角形；又由综上所述，可知△ABC为等边三角
3、形.说明：本题主要考查向量的数量积和向量的夹角，在两个向量的数量积的运算中一定要注意夹角，必须是两个向量有共同的起点时所构成的角.3．(2006年浙江卷·理13)设，，满足，，，若，则的值为.解析：[方法1]由，可知即由此可得，故；又，故.OABC[方法2]依题意构图如右，令，，其中作平行四边形ABCD,即，由于，则∠AOB=90O，即平行四边形ABCD为矩形，又由于，则,所以四边形ABCD为正方形。∴，，从而.说明：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，
4、并能正确地进行运算．4．(2003年天津卷·理4)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析：（方法1）当λ>0时，因为所以，得到，所以因为A、B、C三点不共线，所以AP平分∠BAC得到点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故答案为BABCB1C1PP1O(方法2)其中，则动点P满足.所以，点P的轨迹是由点A出发的射线AP1.由于，且∥，所以AP1平分∠BAC.因此，点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故答案为B.5．（2002年—文(12)，理(10
5、)）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为（）．（A）（B）（C）（D）解析：[方法1]设，由题意．于是，①＋②×2得．于是点的轨迹方程为．[方法2]已知不共线，有，且其中．因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有，即．故选D.6.(2006年辽宁卷·理12)设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是()xyOABP(x,1-x)(A)(B)(C)(D)解析：如右图所示设P(x,1-x)(0≤x≤1),则由得到(x,1-x)(-1,1)≥(1-x,x-1)(-x,x),整
6、理得：2x2≤1,所以，又由，即(x-1,1-x)=λ(-1,1)，故，故选择B.说明：从向量的定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用，突出数形结合的数学思想。在解决有关向量的问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会运用向量处理问题的优越性；二是向量的坐标运算体现了数与性的相互转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法运用，进
7、一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用.
