GCT数学复习资料(微积分).doc

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1、第四部分一元函数微积分在25个考题里面占6个，主要考在一元微分学部分，微分学占到了，现在微分学的题目有四个，积分学可能有两个题目。从题目的难度说，04、06两年，微积分的题目计算量是偏大的，03、05两年题目的难度不大，但也有难题。从出题目的类型说，只有一个题目没有复习，就是渐近线的问题。今年渐近线可以不管，已经考过了。微积分[一元微积分内容总结]一、有关函数进一步讨论：二、极限；极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质；→1③无穷大与无穷小的关系；④理解无穷小比较；f(x)=o(g(x))（c≠0，c

2、≠1）第三章连续函数连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。给出一个函数，给出一点，判断函数在这点是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。给出具体函数找间断点。1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点；最大值存在性和最小值的存在性；第四章导数和微积分的概念、导数的运算1.概念；2.性质；①可导定连续；反之不成立。②可导和可微是等价的；反之亦成立。3.运算；①基本初等函数的导数要记住；②加减乘除的求导法则记住；③复合函数的联导法则要记住；一、两类概念1．反映函数局部性质的概念极限、连续、可导（导数）、可微（微

3、分）、极值（点）等2．反映函数整体性质的概念有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等二、三种运算1．极限运算常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等2．求导运算需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式3．积分运算（1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法（2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法三、几个应用1．单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根）2．凹凸性、拐点问题3．平面图形的面积问题[一元微积分中的常

4、见问题]一、求函数表达式的问题1．已知,求的表达式．解：令得，故．2．已知求．解：）．3．已知，求．解：因为，所以因此．4．设，求．解：因为，所以．因此．5．已知，求，．解：因为，所以，因此，．二、研究函数的奇偶性的问题1．．奇函数2．．解：因为对任意的，都有定义，且所以是奇函数；3．研究函数的奇偶性．解：因为对任意的，都存在，且所以是偶函数．三、函数在一点的性质1．求极限．解：．2．指出函数的间断点及其类型．答案：，跳跃型；，可去型；，第二类．3．已知函数在上连续，求的值．解：由于所以，；，．根据连续性可知解得．4．讨论函数在处的连续性、可导性．答案：连续，可导．因为．5．设在可导

5、，则满足[A]（A）．（B）．（C）．（D）．四、有关无穷小比较的问题1．若，，求与的值．解：因为，所以．2．已知，则当时，下列函数中与是等价无穷小的是[C]A．B．C．D．解：由得．3．确定的值，使．解：因为，所以，因此．又，所以.4.设，求．解:．五、有关导数概念的问题1．求极限．解：2．设在点某邻域内可导，且当时，已知，，求极限解：3．已知，求．解：因为所以．六、求简单复合函数、简单隐函数、幂指函数的导数和微分的问题1．．2．已知函数由确定，求曲线在处的切线方程与法线方程．解：由得，当时，得，所以要求的切线与法线方程分别为．3．．，，．六、研究函数单调性、求函数极值的问题1．单

6、调性、极值问题例如：求函数的单调区间和极值点．解：，由得．单增区间为，单减区间为和．是极小值点，是极大值点．2．最值问题，3．证明不等式问题，（1）证明：．证明：因为，所以.（2）证明：．证明：令，则，所以当时，，即，故．（3）证明：．证明：令，由得，由于，所以函数在区间上的最大、最小值分别为和，从而有．4．证明等式问题例如：设函数在上可导、单增且，证明．证明：令，，则，又，所以，故．证法2：因为，所以．注：也可用定积分的几何意义证明．5．研究方程根的问题例如：讨论方程实根的情况．解：令，由得，从而是函数的单减区间，和是函数的单增区间，极大值为，极小值为．由于，所以：当时，原方程只有

7、一个实根，位于内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程有三个不同实根，分别位于，，内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程只有一个实根，位于内．八、研究函数的凹凸性、求函数拐点的问题1.当为何值时，点可能为的拐点，此时函数的凹凸性如何？解:由点在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得解得．由于，所以为函数的下凸区间，为函数的上凸区间，点是的拐点．2.设函数在上二阶连续可导，且，，试判断是否为的极值点？是否为的拐点？