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1、正弦曲线拟合的三参数法与四参数法正弦曲线拟合的意义由正弦波形的采样序列获得其拟合正弦曲线函数，是一种基本信号处理方法，在许多场合下获得了应用，如评价数据采集系统的有效位数、采集速率、交流增益、通道间延迟、触发特性等，在调制信号的数字化解调和失真度测量中，也有应用。曲线拟合的一般过程正弦信号——采样——A/D变换——信号处理——拟合正弦曲线数学上，幅度、频率、相位和直流偏移4个参数可以唯一确定一条正弦曲线。曲线拟合的目的就是通过分析输入的正弦信号，得到正弦波形的四个参数值，从而得到拟合曲线。在已知输入正弦波形的前提下，怎样确定它的4个参数呢？正弦曲线拟合的总体思路主要是通过改变拟
2、合正弦函数的幅度、频率、相位和直流偏移，使拟合函数和采样序列各点的残差平方和最小，从而获得正弦波形序列最小二乘拟合结果。正弦曲线拟合的总体思路假设采样点数是L，采样数据是D(I)，I:0,1,…,L-1拟合函数是S(t)=Asin(2πft+p)+C则残差的平方和为为采样时间间隔拟合的目的就是找到让E最小的四个参数A、f、p、C三参数法简介三参数正弦曲线拟合，特指信号频率已知时获取幅度、相位和直流偏移的波形拟合方法，它是一种闭合算法，无须迭代即能获得结果，没有收敛问题，具有良好的实用性。三参数法的算法在标准IEEEstd1057-2007IEEEStandardforDigit
3、izingWaveformRecorders的AnnexA中给出了一种三参数正弦拟合的算法。三参数拟合算法示例设理想正弦信号为三参数正弦波曲线拟合过程，即为输入信号的数字角频率已知，选取或寻找A，B，D，使下式所述残差平方和最小：则，参数A，B，D即为A0，B0，D0的最小二乘拟合值。为寻找出A，B，D，构造矩阵三参数拟合算法示例残差平方和用矩阵表示为：当式E最小时可得x0的最小二乘解为：拟合函数的幅度和相位表达形式为：其中：三参数拟合算法示例拟合残差为：拟合残差有效值为：其中：由于这是一种闭合算法,因而收敛是肯定的。四参数法当正弦信号的四个参数都不知道时，一般采用四参数法进行
4、拟合。四参数法也是最常用的一种正弦波拟合方法。与三参数正弦曲线拟合不同，四参数正弦曲线拟合是一个非线性迭代过程，没有解析公式可以直接应用获得结果，需要计算初始值进行迭代。初始值的重要性初始值的精确度对于迭代结果有着很重要的影响。较大的初始误差将导致迭代发散，或收敛到局部最优值而非总体最优值上。获取初始值的基本方法频率f：(1)fft/dft(2)通过分析信号过零点的时间间隔估计频率幅值A：峰峰值除以2直流偏移C：(1)计算信号一个周期的平均值(2)信号最大值与最小值之和除以2相位p：四参数拟合的算法四参数拟合有很多种算法。IEEE学会在标准IEEEstd1057-2007IEE
5、EStandardforDigitizingWaveformRecorders的AnnexA中给出了一种方法，包括两种基本算法：一种通过矩阵运算，另一种通过迭代过程，二者均需要良好的初始条件估计。四参数拟合的经典算法简介牛顿法：该方法是基于一阶泰勒展开与误差修正技术相结合的产物，搜索终止的判据可以是参数增量，或残差平方和。顺序搜索法：顺序对每一个参数在初始值上使用增量搜索法寻找其最优点。牛顿法简介牛顿法是对方程四个参数求偏微分，得到E对给定系数的增量的泰勒级数展开式。用增量对初始值进行校正，以此方法进行多次迭代，直到相关系数不再增大，或者设定一个迭代的次数，就可以得出四个值的最
6、终结果。四参数拟合的算法简介顺序搜索法有一种算法是将四参数拟合过程拆分成两步走，可以避免四参数非线性迭代带来的收敛问题。该算法使用一种非线性迭代方法获得信号频率估计值，然后在已知频率情况下，使用三参数最小二乘拟合算法获得最终结果。本质上是一种三参数方法。四参数顺序搜索算法示例(Ⅰ)令i=1,确定估计信号频率的大致区间.对于常见的等间隔采样,转步骤(Ⅱ);对于非等间隔采样,直接转步骤(Ⅲ).(Ⅱ)利用DFT或FFT计算信号频率,设为ωd,令迭代区间频率下限，迭代区间频率上限(其中,ωc为时钟频率,N为DFT或FFT的长度),转步骤(Ⅳ).(Ⅲ)观察采样序列过零点时刻,设第m个过“
7、零点”(零点指采样序列的均值位置)时刻在区间[tkm,tkm+1]中,而第L(L>M)个过“零点”时刻在区间[tkl,tkl+1]中,令，,其中m,l为整数,转步骤(Ⅳ).(Ⅳ)令,从区间[ω0l,ω0h]中等间距的取2M+1个点(比如M=5),利用三参数法分别计算出这些点对应的A1j,B1j,C1j和残差平方和E1j(j=1,2,3,…,2M+1).(Ⅴ)比较(Ⅳ)中2M+1个残差平方和,并找出最小残差平方和对应频率(记为ω1)、正弦幅度(记为A1)、余弦幅度(记为B1)以及直流偏移(记为
