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时间:2020-05-21
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1、人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线的性质(1)ADBCE自学提纲1.角平分仪为什么能平分一个角?P192.如何画一个角的平分线?P194.角的平分线的性质是什么?如何证明?用几何符号如何表示?P206.课本中利用角平分线的性质解决了一个什么实际问题?P213.如何通过作一个平角的平分线得到直线的垂线?P19练习5.证明一个几何命题的步骤是什么?P21不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?AOBC活动1再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?(对折)情境问题1、如图,是一个角平分仪,其中A
2、B=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?2、证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)ADBCE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)OABCE探究新知活动3NOMC
3、ENM已知:∠AOB(如图)求作:∠AOB的角平分线OC.在△OMC和△ONC中OM=ONMC=NCOC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠AOB的角平分线.1、以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N。2、分别以M、N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点C。3、作射线OC,射线OC即为所求。作法:ABOCNM证明:连结MC,NC由作法知:1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?3〉结论:
4、作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。活动4ABOCD实践应用(1)探究角平分线的性质(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明:∵OC平分∠AOB(已知)∴∠1=∠2(角平分线的定义)∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴∠PDO=∠PEO(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO(已证)∠1=∠2(已证)OP=OP(公共边)∴△P
5、DO≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)PAOBCED12已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线的性质活动5(3)验证猜想角平分线上的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性质:活动5利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言)∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)PAOBCED12角平分线的性质定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为:AOBPED12∵∠1=∠2,
6、PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE.题设:一个点在一个角的平分线上结论:它到角的两边的距离相等思考:要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处500米,应建在何处?(比例尺1:20000)sO公路铁路解:作夹角的角平分线OC,截取OD=2.5cm,D即为所求。DCsO公路铁路活动6如图:在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;求证:CF=EBACDEBF实践应用(2)分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△
7、CDF≌Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行!证明:∵AD平分∠CAB,D是AD上一点(已知)如图:在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;求证:CF=EB∵DE⊥AB,DC⊥AC(已知)在RT△CDF和RT△BDE中BD=DF(已知)DC=DE(已证)∴RT△CDF≌RT△FDB(HL)∴CF=BE(全等三角形对应边相等)ACDEBF∴DC=DE(角平分线的性质)
8、随堂练习BOAC·DPE1.如图,OC是∠AOB的平分线,∵∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB2.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE=CM.EDCBA4动脑筋3.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:⑴图中相等的线段有;相等的角有:。⑵
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