2012高考数学一轮复习三角函数的值域与最值 .ppt

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1、5、三角函数的值域与最值苏教版高中数学2010高考第一轮复习*一、高考要求1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.最值问题是三角函数中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的重要交汇点,常见方法有:1.涉及正、余弦函数以及asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.二、重点解析2.形如y=asin2x

2、+bsinx+c或y=acos2x+bsinx+c的函数可通过适当变换、配方求解.3.形如sinx+cosx,sinxcosx在关系式中时,可考虑换元法处理.三、知识要点常见的三角换元1.若x2+y2=1,可设x=cos,y=sin;2.若a≤x2+y2≤b,可设x=rcos,y=rsin,即有a≤r2≤b;3.对于1-x2,由于

3、x

4、≤1,可设x=cos(0≤≤)或x=sin(-≤≤);224.令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,t[-2,2].1.已知函数f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4

5、x(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值.2解:(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+).4∴f(x)的最小正周期为.(2)∵x[0,],2∴2x+[,].4445∴当2x+=,即x=0时,f(x)取得最大值1;44∴当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-2.483四、检测反馈题解:由y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.2.设0≤x≤

6、,求函数y=sin2x-8(sinx+cosx)+19的最大值和最小值.令t=sinx+cosx,则t=2sin(x+),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4∵0≤x≤,∴≤x+≤.4445∴-1≤t≤2.∴-≤sin(x+)≤1.422∴当t=-1,即x=时,y取最大值27.当t=2,即x=时,y取最小值20-82.4四、检测反馈题3.已知函数f(x)=2asin2x-23asinxcosx+a+b(a0)的定义域为[0,],值域为[-5,1],求常数a,b的值.2解:f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+

7、b=-a(cos2x+3sin2x)+2a+b=-2asin(2x+)+2a+b.6由已知x[0,],2∴2x+[,],6667∴-≤sin(2x+)≤1.612因此由f(x)的值域为[-5,1]可得:a>0,-2a×(-)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.四、检测反馈题4.求y=的最值及对应的x的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+s

8、inx)2-1==2+sinx-.2+sinx1令2+sinx=t,则y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1对于任意的t1,t2[1,3],且t1

9、x=2k-,kZ};2{x

10、x=2k+,kZ}.2当t=3时,ymax=f(t)max=,此时,sin

11、x=1,x的集合为:834.求y=的最值及对应的x的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx四、检测反馈题5.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,求a的取值范围.解:从分离参数的角度考虑.原方程即为:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+)2+.12∵

12、cos2x

13、≤1,∴-1≤a≤.72四、检测反馈题解:由已知当a>0时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)1.函数y=acosx+b(a,b为常数),若-7≤y≤1,求bsinx+acosx的最大值.解得a=4,b=-3,此

14、时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当a<0时,bsinx+a