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时间:2020-05-19
《异面直线的判定练习题及答案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、异面直线的判定1.已知空间四边形ABCD,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是边BC、DC的三等分点(如图),求证:(1)对角线AC、BD是异面直线;(2)直线EF和HG必交于一点,且交点在AC上.2.A是△BCD平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点,(1)求证:直线EF与BD是异面直线;3.已知:平面α∩平面β=a,b⊂α,b∩a=A,c⊂β且c∥a,求证:b、c是异面直线.4.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求证:AD与BC是异面直线.5.平行六面体ABCD-A1B1C1
2、D1中,求证:CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线.小结:常用方法是反证法(1)利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线,推出矛盾,从而证明是异面直(2)说明直线EF和HG必交于一点,然后证明这点在平面ADC内.又在平面ABC内,必在它们的交线AC上.:(1)假设对角线AC、BD在同一平面α内,则A、B、C、D都在平面α内,这与ABCD是空间四边形矛盾,∴AC、BD是异面直线.(2)∵E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD,又F、G分别是BC、DC的三等分点,EG平行等于2/3BD,.∴EH∥FG,且E
3、H<FG.∴FE与GH相交设交点为O,又O在GH上,GH在平面ADC内,∴O在平面ADC内.同理,O在平面ABC内.从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上.2.(1)假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,得到A、B、C、D在同一平面内,矛盾.(1)证明:用反证法.设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.3.证明b、c是异面直线,比较困难,考虑使用反证法,即若b与c不是异面直线,则b
4、∥c或b与c相交,证明b∥c或b与c相交都是不可能的,从而证明b、c是异面直线证明:用反证法:若b与c不是异面直线,则b∥c或b与c相交(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b这与a∩b=A矛盾;(2)若b,c相交于B,则B∈β,又a∩b=A,∴A∈β∴AB⊂β,即b⊂β这与b∩β=A矛盾∴b,c是异面直线.4.证明:法一:(反证法)假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P、A、B、C、D都在平面α内,∴直线a、b、c都在平面α内,与已知条件a、b、c不共面矛盾,假设不成立,∴AD和BC是异面直线.法二:(直接证法)∵a∩c=P
5、,∴它们确定一个平面,设为α,由已知C∉平面α,B∈平面α,AD⊂平面α,B∉AD,∴AD和BC是异面直线.5.证明:用反证法,假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线.设直线CD1与BC1共面α.∵C,D1∈CD1,B,C1∈BC1,∴C,D1,B,C1∈α∵CC1∥BB1,∴CC1,BB1确定平面BB1C1C,∴C,B,C1∈平面BB1C1C.∵不共线的三点C,B,C1只有一个平面,∴平面α与平面BB1C1C重合.∴D1∈平面BB1C1C,矛盾.因此,假设错误,即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线
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