2021高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量8.5空间向量及其应用教学案理新人教A版.docx

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1、§8.5　空间向量及其应用最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量

2、相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，22使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空

3、间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

8、a

9、

10、b

11、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b).②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b

12、＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

13、a

14、夹角余弦cos〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．22(3)位置

15、关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示　不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示　不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空

16、间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)题组二　教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)22A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c答案　A解析　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则

17、EF的长为________．答案　解析　

18、

19、2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴

20、

21、＝，∴EF的长为.题组三　易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直答案　B解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.5．O为空间中任意一点，A，B，C三点