多元函数微分学习题课.ppt

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1、6.8多元函数微分学习题课多元函数微分学的知识要点首页上页下页返回结束多元函数微分学的例题选讲6.8.1多元函数微分学的知识要点首页上页下页返回结束1、了解空间直角坐标系，熟悉常见空间曲面的方程和图形之间空间中两点的距离公式：首页上页下页返回结束本章的概念都是先从二元函数给出，然后进行推广．所以一定要熟悉常见空间曲面的方程和图形．例如，表示以定点为球心，R为半径的球面．表示空间中的平面．（全为常数，且不全为零）首页上页下页返回结束表示以xOy面上的圆为母线，以平行于z轴的直线为准线的圆柱面．xyz

2、oo首页上页下页返回结束表示旋转抛物面，而表示圆锥面.xyzo首页上页下页返回结束2、理解多元函数极限、连续的概念，了解二元理解好多元函数极限与一元函数极限的区别，会以二元函数为切入点，理解好多元函数概念，会连续函数在有界闭区域上的性质求其定义域．证明二元函数在某点极限不存在．二元函数极限的定义A是一个常数．设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域有定义．如果对任意给定的正数总存在正数使得当时，首页上页下页返回结束都有则称常数A是二元函数z=f(x,y)当时的极限，记作如果我

3、们发现点P(x,y)以不同方式趋近于P0(x0,y0)时，函数值趋于不同的值，那么就可以断定这个函数当时极限不存在．我们经常利用这一点来证明二元函数在某点处极限不存在．首页上页下页返回结束以计算一些简单的二元函数极限．多元函数的连续也可以用“连续极限值=函数利用以前学过的求极限方法，通过变量替换，可值”来理解．3、理解多元函数偏导数的概念，会求多元函数的偏导数和高阶偏导数偏导数的定义固定y=y0，当x在x0有增量△x时，相应地函数有增量设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定

4、义．首页上页下页返回结束如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记为或z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数，类似可定义记为或首页上页下页返回结束多元函数求偏导数的实质仍是一元函数求导．例如求z=f(x,y)对某一个自变量的偏导数时，只需把另一个自变量看成常数，这就是一元函数的求导问题，并没有引进新的方法．也就是说，求看作常数，对x求导即可；时，只要把y作常数，对y求导即可．同理，求时，只要把x看4、理解全微分的概念，会求多元函数的全微分全微分的概念设

5、函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域有定义，首页上页下页返回结束若z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增量△z可以表示为其中A，B是不依赖于△x，△y，仅与x0，y0有关的常数，则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微，且称A△x+B△y为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全微分，记作dz，即此外，要理解全微分、偏导数、连续之间的关系．以二元函数z=f(x,y)为例：两个偏导数连续可微两个偏导数存在连续首页上页下页返回结束5、掌握多元复合函数的微分法

6、掌握多元复合函数的求导法关键在于对复合函数多个变量之间的关系进行正确的分析，分清哪一个是自变量，哪一个是中间变量，它们之间具有什么关系．避免求导步骤的遗漏或增添．在求二阶偏导数时，必须要清楚一阶偏导中的仍然是以u，v为中间变量，x，y为自变量的复合函数！抽象的多元复合函数求二阶偏导数是本章的难点．首页上页下页返回结束6、熟练掌握隐函数的微分法定理6-6偏导数，则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续导数的函数y=f(x)，它满足y0=f(x0)，并且设函数F(x

7、,y)在点(x0,y0)的某邻域有连续的本章的两个定理将求隐函数所确定函数的导数或偏导数公式化．首页上页下页返回结束定理6-7的偏导数，F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足z0=f(x0,y0)，且则方程设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续6、熟练掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法多元函数极值无条件极值条件极值首页上页下页返回结束无条件极值的求法具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值

8、求法：第一步解方程组求得一切实数解，即可求出一切驻点．第二步对于每个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A，B和C．第三步定出的符号，按定理6-9的结论判定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值．首页上页下页返回结束条件极值的求法拉格朗日乘数法．具体求解步骤如下：首先，构造拉格朗日函数．接着，求拉格朗日函数关于自变量一阶偏导数，并使之为零，然后与约束条件联立成方程组．解出最后，判别求出的可疑极值点是否为真的极值点，通常由实际问题的具体意义来判定．可疑极值点．6.8.2多元