信道容量的计算.doc

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1、§4.2信道容量的计算这里，我们介绍一般离散信道的信道容量计算方法，根据信道容量的定义，就是在固定信道的条件下，对所有可能的输入概率分布求平均互信息的极大值。前面已知是输入概率分布的上凸函数，所以极大值一定存在。而是个变量的多元函数。并且满足。所以可用拉格朗日乘子法来计算这个条件极值。引入一个函数：解方程组（4.2.1）可以先解出达到极值的概率分布和拉格朗日乘子的值，然后在解出信道容量。因为而，所以。解（4.2.1）式有（对都成立）又因为所以(4.2.1)式方程组可以转化为假设使得平均互信息达到极值的输入概率分布这样有从而上式

2、左边即为信道容量，得现在令式中，是输出端接收到Y后获得关于的信息量，即是信源符号对输出端Y平均提供的互信息。一般来讲，值与有关。根据（4.2.2）式和（4.2.3）式，所以对于一般离散信道有如下定理。定理4.2.1一般离散信道的平均互信息达到极大值（即等于信道容量）的充要条件是输入概率分布满足对所有的对所有的这时C就是所求的信道容量。对于离散信道来说，其实信道容量还有一个解法：迭代解法。定理4.2.2设信道的向前转移概率矩阵为，是任给的输入字母的一个初始概率分布，其所有分量。按照下式不断地对概率分布进行迭代，更新：其中由此所得

3、的序列收敛于信道容量C。我们还可以将上述过程写成算法以便编制程序实现（如图4.2.1）开始图4.2.1信道容量的迭代算法对于一些特殊的离散信道，我们有方便的方法计算其信道容量。定义4.2.1设X和Y分别表示输入信源与输出信源，则我们称为损失熵，为信道噪声熵。如果信道的损失熵，则次信道容量为（bit/符号）这里输入信源X的信源符号个数为。如果信道的噪声熵，则此信道容量为（bit/符号）这里输出信源符Y的符号个数为s.定义4.2.2一个信道Q称为对称离散信道，如果它满足下面的性质：（1）信道Q矩阵中每一行是另一行的置换；（2）每一

4、列式另一列的置换。例如，信道矩阵和满足对称性，所以对应信道是对称离散信道。定义4.2.3对称离散信道的信道容量为（bit/符号）上式只与対称信道矩阵中行矢量和输出符号集的个数s有关。证明而由于信道的对称性，所以与无关，为一常熟，即接着举一个例子加以说明。例4.2.1某对称离散信倒的信道矩阵为用公式计算信道容量（bit/符号）定义4.2.3若信道矩阵Q的列可以划分成若干互不相交的子集矩阵，即且。由为列组成的矩阵是对称矩阵，则称信道矩阵Q所对应的信道为准对称信道。例如，信道矩阵都是准对称信道，在信道矩阵中，Y可以划分为三个子集，由

5、子集的列组成的矩阵为，，它们满足对称性，所以对应的信道是准对称信道。同理可划分为，这两个矩阵也满足对称性。下面，我们给出准对称离散信道的信道容量计算公式其中，是输入符号集的个数，为准对称信道矩阵中的行矢量。设矩阵可划分为个互不相交的子集。是第个子矩阵中行元素之和，是第个子矩阵中列元素之和，即并且可以证明达到准对称离散信道容量的输入分布式等概分布，我们将推导作为习题留给读者。001-p-qqpp2q1-p-q11例4.2.2设信道传递矩阵为可表示成如图4.2.2所示，计算其信道容量根据上面计算公式可得则有图4.2.2下面我们举一

6、些其他信道容量的例子例4.2.3设离散信道如图4.2.3所示，输入符号集为，输出符号集为，信道矩阵为图4.2.3由于输入符号传递到和是等概率的，所以可以省去。而且与，都分别传递到和，因此可只取和，所以设输入概率分布，，可以计算得，由定理4.2.1得可见，此假设分布满足定理4.2.1，因此，信道容量（bit/符号）最佳分布是若设输入分布为。同理可得，根据定理4.2.1有从而，输入分布也是最佳分布，可见，信道最佳输入分布不是唯一的。对于一般的离散信道，我们很难利用特殊计算方法，因此只能采用解方程组式（4.2.2）的方法。我们将（4

7、.2.2）式的前r个方程组改写成移项后得令，代入上式得化为矩阵形式为这是含有个未知数个方程的非齐次线性方程组。如果设，信道矩阵为非奇异矩阵，则此方程组有解，并且可以求出的数值，然后根据求得信道容量（bit/符号）由这个值可解得对应的输出概论分布。再根据即可解出达到信道容量的最佳输入分布。下面给出一例。例4.2.4设离散无记忆信道输入的符号集为，输出的符号集为，如图4.2.4所示。其信道矩阵为1/21/41/4111/41/41/2我们才用上面所讲的方法来计算信道容量：解方程组得信道容量（bit/符号）又求得输出分布因此可以求得

8、最佳输入分布为例4.2.5设有两个独立并联信道如图4.2.5，计算它的信道容量。信道1信道2解根据定理4.1.1有即联合平均互信息不大于各自信道的平均互信息之和，因此得到独立并联信道的信道容量为，是个独立信道的信道容量。只有当输入符号互相独立，且输入符号的概率分布达到各子信道