带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用.doc

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1、毕业生毕业论文（设计）题目：带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用摘要带佩亚诺型余项的泰勒公式，尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。本文将介绍其应用技巧。关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；应用技巧AbstractTheTaylorformulawithPeanoremaindertermonlygivethequalitativedescriptionotherthanquantitat

2、ivedescriptionaboutthePeanoremainderterm.However,itisveryimportantinthecalculationofthelimitsandlimitvalueoffunctions,theestimationoftheorderabouttheinfinitesimalofhigherorder,thejudgementoftheconvergenceoffunctions,andsoon.Inthispaper,wewillmainlyin

3、troduceitsapplicationskills.Keywords:Taylorformula；Peanoremainderterm；Skills目录前言………………………………………………………………………………11绪论1.1问题的提出……………………………………………………………………21.2预备知识………………………………………………………………………21.3容简介………………………………………………………………………22带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用2.1求极限…………………………

4、………………………………………………42.2估计无穷小量的阶……………………………………………………………62.3判定敛散性……………………………………………………………………72.4判别函数的极值与拐点………………………………………………………92.5求高阶导数…………………………………………………………………102.6小结…………………………………………………………………………113结论……………………………………………………………………………12致………………………………………………………

5、………………………13参考文献…………………………………………………………………………14前言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，英国数学家泰勒在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，述了他早在1712年就已经获得的著名定理其中为独立变量的增量，为流数。泰勒假定随时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：泰勒公式开创了有限差分理论，使任何单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。泰勒公式成功地将一些函数表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，

6、使泰勒公式成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数。对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由多项式逼近原理构造出一个次多项式称为带佩亚诺型余项的泰勒公式，其中称为佩亚诺型余项。带佩亚诺型余项的泰勒公式，只需函数在点存在直至阶导数即可。它是各种形式泰勒公式中所需条件较少

7、，形式较简单，且处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。本文将介绍其应用技巧。1绪论1.1问题的提出泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，利用泰勒公式不仅能将一些初等函数展成幂级数，进行函数值的近似计算，而且泰勒公式还是求解高等数学问题的一个重要工具。带佩亚诺型余项的泰勒公式，是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定性问题时极为

8、简便的泰勒公式。尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。1.2预备知识定义：形如称为带佩亚诺型余项的泰勒公式，其中称为佩亚诺型余项。定理1若在点及邻域具有阶连续导数，且；（1）若为奇数，则不是极值点；（2）若为偶数，则当时，为极大值；当时，为极小值。1.3容简介泰勒公式在分析和研究数学问题方面，有着重要应用。而带佩亚诺型余项的泰勒公式是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且