皮亚诺型余项.doc

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1、目录摘要…………………………………………………………………………关键词………………………………………………………………………Abstract………………………………………………………………Keywords…………………………………………………………………..1．引言……………………………………………………………………2．不同型泰勒公式证明……………………………………………………2.1泰勒公式2.2带有皮亚诺型余项泰勒公式的证明……………………………2.3带有柯西型余项泰勒公式的证明…………………………………….2.4带有拉格朗日余项泰勒公式的证明…………………………………2.5带有积分型

2、余项泰勒公式的证明……………………………………3．不同型余项泰勒公应用…………………………………………………3.1.带有皮亚诺型余项的泰勒公式的应用………………………………3.1.1求未定式的极限的应用3.1.2广义积分敛散性判定的应用3.1.3数项级数和函数项级数敛散性判断的应用3.2带有柯西型余项的泰勒公式的应用…………………………..3.2.1初等函数的幂级数的展开式中的应用3.3带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用……………………………3.3.1证明中值公式的应用3.3.2证明等式和不等式的应用3.3.3近视值的计算的应用3.4带有积分型余项的泰勒公式的应用………………………………

3、…3.4.1定积分计算中的应用4.结束语……………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………………泰勒公式的证明容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的容，不仅在理论上占有重要的地位,也在微分学理论中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。泰勒公式的余项有两种：一种是定性的，例如我们可以使用泰勒公式,佩亚诺型余项；另一种是定量的，如拉格朗日余项、柯西型余项等。来很好的解决有关高价函数导数问题

4、。泰勒公式的收缩适度很好的锻炼了学习数学的思维，让我们在学习的时候有更广的思维空间。关键字：泰勒公式皮亚诺余项拉格朗日1.引言泰勒公式是数学分析中一个重要的容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式，来很好的解决某些问题，如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断敛散性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限、近似、积分运算以及中值问题这四个方面的具体应用方法。2.泰勒公式的证明2.1泰勒公式我们

5、在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点0可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n），其中n为多项式的次数，为此，我们考察任一n次多项式。.（1）逐次求它的点处的各阶导数，得到，即由此可见，多项式的各项系数由其点的各阶导数值所唯一确定。对于一般的函数，设它在点存在直到n阶的导数。由这些导数构造一个n次多项式（2）称为函数在点处的泰勒多项式。的各项系数称为泰勒系数。由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至n阶导数值，即,k=0，

6、1，2，。。。，n（3）下面将要证明，即以（2）式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量。2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式的证明定理1若函数在点存在直至n阶导数，则有，即（4）证设现在只要证由关系式（3）可知并易知.因为存在，所以在点的某领域存在n-1阶导函数.于是，当且，允许连接使用洛必达法则n-1次，得到定理所证的（4）式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为皮亚诺型余项。所以（4）又称带有皮亚诺型余项的泰勒公式。2.3带有柯西型余项的泰勒公式的证明定理2设函数和满足（i）在[a,b]上连续；（ii）在（a,b）可导；（iii）和不同时为零；（iv）

7、,则存在，使得证作辅助函数易见F在[a,b]上满足罗尔定理条件，故存在，使得2.4带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明若函数在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在（a，b）存在（n+1）阶导数，则对任意给定的x，，至少存在一点，使得（5）证作辅助函数所证明的（0）式即为或不妨设x0