2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_6_1_1直线与平面垂直的判定学案北师大版必修2.docx

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1、一　直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线和平面垂直的判定定理1．直线与平面垂直定义中的关键词“任何一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？[答案]　定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．2．线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？[答案]　用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂

2、直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的．题型一直线与平面垂直的定义及判定定理的理解【典例1】　下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．[解析]　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与

3、α内的所有直线都垂直，所以④正确．[答案]　③④(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，bα，则a⊥b.[针对训练1]　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)A．若l⊥m，mα，l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则

4、l∥m[解析]　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任何一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任何一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任何一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．[答案]　B题型二线面垂直的判定【典例2】　在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面ABC.[思路导引]　证明直线PH与平面ABC内的两条相交直线垂直即可．[证明]　如图，连接AH，因为H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，又A

5、P⊥BC，AH∩AP＝A，所以BC⊥平面AHP，又PH平面AHP,所以PH⊥BC.同理可证PH⊥AB,又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC.利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直．[针对训练2]　如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.[证明]　因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.又AC∩SA＝A，所以BC⊥平面SAC.因为AD平面SAC，所以BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，所以AD⊥

6、平面SBC.1．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直[解析]　连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．[答案]　C2．下列表述正确的个数为(　　)①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a平面α，bα，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α

7、内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A．0B．1C．2D．3[解析]　①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内或与α斜交；由直线与平面垂直的判定定理知④错．[答案]　A3．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．那么能保证该直线与平面垂直的是(　　)A．①③B．①②C．②④D．①④[解析]　如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面，因此可知①③适合判定定理．故选A.[答案]　A4．已知△AB

8、C所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点