2020高考数学（理）计数原理、概率统计专题06 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（解析版）.docx

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1、概率统计06离散型随机变量及其分布列、均值与方差【考点讲解】一、具体目标：理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.二、知识概述：1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母ξ、η等表示．2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出

2、，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．4．分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．5．分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴⑵．6．独立重复试验：在同样的条件下

3、重复做的次试验称为次独立重复试验，每一次试验只有发生与不发生的结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：．7．常见离散型随机变量的分布列⑴两点分布：X01P1-PP⑵二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．称随机变量ξ服从二项分布．记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．⑶超几

4、何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，．称分布列X01…mP…为超几何分布列，称X服从超几何分布．离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.……P……有性质①；②.注意：若随机

5、变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量的数学期望：①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.ξ01Pqp⑵单点分布：

6、其分布列为：.⑶两点分布：，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：其分布列为～.（P为发生的概率）⑸几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为⑶两点分布：其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：⑸几何分布：5.期望与方差的关系.⑴如果和

7、都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.【温馨提示】离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型．求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型

8、随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望．【真题分析】1.【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是当a在（0，1）内增大时，则（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大【分析】研