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1、第十五单元推理与证明知识体系第三节数学归纳法(*)基础梳理1.数学归纳法的适用对象一般地,对于某些与有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当时结论正确,证明当n=时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.正整数n=k(k∈N*,且k≥n0)k+1典例分析题型一与自然数n有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明：分析用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.证明（1）当n=1时，左边=12×4=18,右边=18,等式
2、成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,成立;当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等式对于任意n∈N*都成立.学后反思用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.举一反三1.求证:(其中n∈N*).证明：(1)当n=1时,左边,右边=,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即那么当n=k+1时,左边=这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n∈N*都成立.题型二用数学归纳法证明整除问题【例2】求证：（n∈N*）能被9整除.分析当n=1时，原式=27能被9
3、整除.因此要研究与之间的关系，以便利用归纳假设能被9整除来推证也能被9整除.证明设（1）f(1)=(3×1+1)×7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立.(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，即(k∈N*)能被9整除.则由于f(k)能被9整除，能被9整除，所以能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n,能被9整除.学后反思整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.举一反三2.用数学归纳法证明：(n∈N*)能被x+2整除.证明：（1）当n=1时，1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k
4、时，能被x+2整除,则可设=(f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时，能被x+2整除.综上可知，对任意n∈N*,1-(3+x)n能被x+2整除.题型三用数学归纳法证明不等式【例3】求证：(n≥2,n∈N*).分析和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.证明（1）当n=2时，左边=,不等式成立.（2）假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立，即成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立.学后反思在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.举一反三
5、3.求证：(n∈N*).证明：（1）当n=1时，左边=,∴n=1时不等式成立.（2）假设n=k(k∈N*)时原不等式成立,即则当n=k+1时,左边=∵∴左边≥1,∴n=k+1时原不等式成立.综上可得,原不等式对于一切n∈N*都成立.题型四用数学归纳法证明有关数列问题【例4】(14分)在数列{an}中，,当n∈N*时满足,且设.求证：各项均为3的倍数.分析由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证明.这里要注意是由递推关系给出的.证明（1）∵,∴,,∴…………………………………………………..2′∴当n=1时，能被3整除………………………………………6′（2）假设n=k(k∈N
6、*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数.则当n=k+1时,,……………….10′由归纳假设，是3的倍数，故可知是3的倍数.∴当n=k+1时命题成立………………………………………….12′综合（1）（2）知，对任意n∈N*，数列各项都是3的倍数.……………………………………………………………14′学后反思在证n=k+1时，对应用递推关系式裂项，裂项后需产生项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成3的倍数.举一反三4.是等比数列,公比为q.求证：对于一切n∈N*都成立.证明：（1）当n=1时，,等式成立.（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即.则当n=k+1时，即当n=k+1
7、时等式也成立.由(1)(2)可得，等式对一切n∈N*都成立.易错警示【例】已知(n∈N*).用数学归纳法证明时，=.错解错解分析∵中共有n项相加,∴中应有项相加，中应有项相加,∴中应有项.正解考点演练10.用数学归纳法证明等式:(n∈N*),则从n=k到n=k+1时,求左边应添加的项.解析:n=k时,等式左边=;n=k+1时,等式左边=比较上述两个式子,n=k+1时,等式左边是在假设n=k时等式成立的基础上,等式的左边加上了11.用数学归纳法证明:(n∈N
