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1、第三章复习X.1积分换元的几种形式1．利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求解令，则于是练习求2．倒代换（即令）设分别为被积函数的分子、分母关于的最高次数，当时，可以考虑使用倒代换。求解令，则，于是原式练习1．指数代换（适用于被积函数由所构成的代数式）令，求解令，原式练习求X.2有理函数的积分一、有理函数的积分形为，（1）其中和都是非负整数；及都是实数，并且。假定分子与分母之间没有公因式，当时，称（1）为真分式；否则为假分式。利用多项式的除法，总可以将一个假分式转换为一个多项式与一个真分式的和。而多项式的积分容易求得，
2、所以只需要讨论真分式的积分。真分式由如下性质:如果真分式在实数范围内能分解称一次因式与二次质因式的乘积，如（其中那么真分式可以分解成如下部分分式之和：（2）其中及等都是常数。对于（2）式应注意以下两点：1）分母中如果有因式，那么分解后有下列个部分分式之和其中都是常数，特别地，如果，那么分解后有；2）分母中如果有因式，其中，那么分解后有下列个部分分式之和其中都是常数，特别地，如果。那么分解后有。然后我们可以使用待定系数法，或者直接代入的特殊值求出系数例如，真分式可分解成其中为待定系数，可以用如下的方法求出待定系数。第一种方法两端
3、去分母后，得或（3）因为这时恒等式，等式两端的系数和常数项必须分别相等，于是有从而解得第二种方法在恒等式（3）中代入特殊的值，从而求出待定的常数。在（3）式中令，得；令，得.同样得到例1求.解因为,所以例2求.解由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想方法.因为分子是一次式,而分母的导数,由于分子是一次式,而分母的导数也是一次式,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即这样,所求的积分可计算如下:例3求.解因为,两端去分母,得.(4)令,得;令,得,把的值代入(4)式,并令,得,即
4、.所以例4求.解因为,所以当有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,只出现多项式、及等三类函数.前两类函数的积分很简单,下面讨论积分.将分母中的二次质因式配方得,故令,并记,其中,于是.当时(如例2),有.当时,,上式最后一个积分的求发见上节例9.这样我们就将有理函数的积分求出来了.由此,可得,有理函数的原函数都是初等函数.二、三角有理式的积分例5求.解由三角学知道,与都可以用的有理式表示，即，所以如果作变换，那么，而，从而.于是本例使用的代换称为万能代换，对三角有理式的积分都可以使用三、简单无理式的积分例6求.解为了去掉根号
5、，可以设，于是，从而积分为例7求.解令，则，，，得例8求解为了同时去掉各个根式，得令例9求.解为了去定掉根式，可以设，于是，从而所求积分为四、含有反三角函数的不定积分绝大多数这类题可直接令反三角函数为新变量求解求解令于是原积分练习求五、抽象函数的不定积分所谓抽象函数的不定积分，是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分，其解法同样可用换元法和分部积分法求解原式练习六、分段函数的不定积分设，求解当时，，当时，当时，由于原函数的连续性，分别考虑在处的左、右极限可知有，解之，有，令，则练习求。X.3几种特殊形式的定积分计算一、分段函数的
6、积分（1）要认清积分限是被积函数定义域的哪个区间段的端点，然后按段积分求和。（2）当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式。切记：与此同时积分限也要相应改变。设，求解当时，当时，，综上所述，可知练习求积分一、被积函数带有绝对值符号的积分再作积分运算前取点绝对值，其方法是先令绝对值内的式子等于“0”，在积分区间内求出根，再据此把积分区间分成若干个子区间，各子区间上的被积函数的绝对值就可以去掉了（注意符号！！）求。练习二、被积函数中含有“变上限积分“的积分用分部积分法做，将变上限的积
7、分取作，其余的部分取作设，求。解练习设，求一、对称区间上的积分或者考察被积函数是否为奇偶函数，用奇偶函数积分的“特性”处理，或作负变换处理。例1设在上连续，且对任何有，计算；在令，则有又，即，可知为奇函数。于是＝0例2。解令，则故二、由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的函数的积分通过变量代换把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分；一般讲，变量代换是这样做的；积分区间为对称的，令；积分区间为的令；积分区间为的，令；积分区间为的，令例求定积分（1）而代入原积分，的原积分＝。（2）从而故（3）从而故。（4）从而。故一
8、、二、习题课三例1求下列各式的原函数：（1）设，求（2）设及，求。解（1）对这种类型的题，一般可用下列两种解法。方法一设，原式变为故，.方法二，令，由于，故取。所以..（2）设，于是原式变为所以，当时，；当时，由于在内连续（包括），所以其原函数在内存在且连续。由在的连续，有，
