高一必修五解三角形.doc

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1、一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即　　===2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即　　c=，c=，c=．∴==2.证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理=2R，＝2R二、正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:三、正弦定理的变形公式1

2、)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;3）a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R5）asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA一、余弦定理定义：三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．公式：a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b

3、2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为证明：方法一：如图在中，、、的长分别为、、∵∴即同理可证，方法二：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系。由两点的距离公式有：两边平方，得同理可证另两式二、余弦定理的应用。　(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；　　(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.　　(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式)判定定理(角边判别法):　　一当a>bsinA时　　①当b>a且cosA

4、>0(即A为锐角)时,则有两解；　　②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；　　③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；　　④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；　　⑤当b0(即A为锐角)时,则有一解；　　②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；　　三当a

5、AB∶BC＝AＤ∶ＤC例5在△ABC中，,则k为()A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)例6△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例7在△ABC中，求证：例8.在中，若，，求的周长。例9.在中，分别是的对边长,且。（1）求；（2）若，且，求的面积。例10.在中，分别是的对边长，若，试判断的形状。例11.已知有两个小岛相距21海里，岛在岛的正南方。现在甲船从岛出发，以9海里/时的速度向岛行驶，而乙船同时以6海里/

6、时的速度离开岛向南偏东方向行驶。问行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的距离。例12.在中，已知，则其外接圆的半径（）A．．Ｃ．.不确定例13.在中，是的（）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件D．既不充分也不必要条件例14.在中，分别是的对边长，下列等式恒成立的是（）。．．．．例15.在中，分别是的对边长，且，则（）。．．．．例16.在中，已知三边，试判断的形状。例17.在中，分别是的对边长。已知成等比数列，且，求的大小及的值。例18.在中，分别是的对边长。求证：。例19.某观测站在目标的南偏

7、西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米后到达处，此时测得、间的距离为21千米，求此人所在处距还有多少千米？例20.在中，分别是的对边长，已知，且，求内角的大小。1.解：∴由得由得2.解：∵∴3.解：，4.分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正

8、弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD内，利用正弦定理得：在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴∴评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为