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《数学分析的念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数学分析的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部（如区间上函数的连续、可微性）,所以在数学分析的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证明和计算,本讲着重探讨这方面的证明方法.1子序列问题在数列的收敛与发散中常常用子序列的敛散性来进行讨论,也就是用部分序列的性质来探讨整体序列的性质.问题1.1.1数列收敛的充要条件是、收敛到同一极限.【分析】此问题实际上是探讨整体序列与两个部分序列、之间的收敛关系.【证明】必要性设,则任给,找得到正整数N,当时,有.此时对2N,当2n>2N时也有
2、,亦即.同理可证.充分性设,则对任给,找得到正整数N1,当n>N1,时,有①同时可找到正整数N2,当n>N2时,有②从而取N=max{2N1,2N2+1},当n>N时,n为偶数,则满足①,n为奇数,则满足②,即当n>N时,有,亦即.问题1.1.2设且满足：（1）（2）则存在.【分析】先证存在.由得即是单调上升数列.又,由单调下降和,知是非负序列（不然从某项开始,当时,,则）.再由单调下降,及,从而存在.下证存在.由,从而由数列极限的运算法则,有,而,由问题1.1.1知,.从而.再由问题1.1.1
3、知存在.注意：一般的教科书上都注明,其实从单调下降和,可推得出是非负序列.此外我们假定单调上升,且,问题1.1.2依然正确.问题1.1.3设（n=1,2,…）,试证存在,并求其值.【证明】由问题1.1.1和以上推导知.问题1.1.4证明n不存在.【证明1】（反证）设n存在,则（n＋2）=n,由此,亦即,而sin1≠0,所以有n=.另一方面由问题1.1.1,知2n=n，但2n=2n•n＝0，所以n＝0，于是，这与矛盾。【证明2】（反证）设n＝A，则由问题1.1.1，得2n=（2n＋1）＝A，但因为
4、sin(2n+1)=cos1sin2n+sin1cos2n,sin(2n+2)=cos1sin(2n+1)+sin1cos(2n+1),则由sin1≠0,得2n＝（2n+1）=,所以n=。另外cos(2n+1)－cos(2n－1)=－2sin1sin2n.取极限得2n=0，从而得n=0=A,所以n＝，同样和矛盾。下面我们来探讨比问题1.1.1更一般的整体与部分数列问题。问题1.1.5数列收敛的充要条件是的任意真子序列收敛。【分析】这里讨论的部分数列是任给的真子列，这样的子列有无穷多个。【证明】必
5、要性设,是的任一真子列，则是自然数集中严格单调上升的一个数列，且，对任给的，存在自然数N，当n>N时，有①由单调趋于无穷，则存在k0,使得从而当k>k0时，nk>N满足①，即，由此。充分性所谓真子列是指下标集N-{nk}是无穷集，则称是的真子列，假定对所有的真子列收敛，下证收敛。显然，、皆为的真子列，则此二真子列皆收敛，设，，下证A＝B。是的真子列，是的真子列。又必要性之证明有，。取，且k=1,2,…（[x]为x的整数部分），则为无穷集。由此的一个真子列，于是有存在有限。又（1）得（2）得综合（
6、1），（2）有A=B.由问题1.1.1知收敛。注意：这里充分性的证明是构造性的，而且这里须注意的是整体序列变动的是下标n，而部分序列变动的是中的k。问题1.1.6的充要条件是。【证明】若，则对任给的，存在自然数N，当n>N时，即。反之，若，则对任给的，存在自然数N，当n>N时，即。问题1.1.7若数是数列的一个聚点，则有的子序列，使得反之也成立。【分析】要证明本问题先得弄清聚点得概念，然后来“抽取”子序列。【证明】由l是的一个聚点，，从而对任给的，区间中有得无穷多项（可重复的选取同一个数）.下面
7、是子列的“抽取”法。对，在中任取一个的项作为，对，在中有的无穷多项，任取一个作为，…，对，在中有的无穷多项，任取一个作为，这样又归纳法我们可取的子列，由取法可知是严格单调的自然数列。以下证明对任给，总有k0,使得，从而当k>k0时，，亦即反之亦然。问题1.1.8设L是数列的上极限，则可选取的子序列使同样可抽取子序列，使l是的下极限（这里L,l可取无穷）。【分析】注意到即可。【证明】先设L有限，我们仅需证明L是的一个聚点。对任给的,由，从而可找到k0,当k>k0时，（*）由此有n1≥k0,使（**
8、）于是。同样由，可找到n2>n1,使得。用归纳法可找到，对所有的k，使，而是的无穷多项落在之间，于是L是的一个聚点。下设，则对一切的k皆有(否则由,则当k>k0时，，从而，由，从而有n1,使得由，从而有n2>n1,使得，由归纳法可从，找得到.这样另外对下极限，有，所以－是得聚点，从而下极限是的聚点。问题1.1.9数列的上极限是的最大聚点，下极限则是最小聚点。存在的充要条件是且为有限值。【分析】有了问题1.1.8及其证明，问题1.1.9可以很快解决，我们采用反证法。【证明】先证上极限是最大聚点（反
