数分选讲讲第29讲.doc

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1、讲授内容备注第二十九讲第六章多元函数微分学§6.1多元函数的极限与连续一、多元函数的极限　1．多元函数极限的计算　1)利用不等式，使用两边夹法则；2)变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限；3)利用极坐标；4)利用初等函数的连续性，利用四则运算性质；5)利用初等变形，特别指数形式常可先求其对数的极限．例1　求下列极限(1)；(2)；(3)．解　(1)所以．(2)　先求取对数之后的极限　　　　　　　3学时　．(3)　可用(1)的方法．极坐标代换：所以　．　2．证明二元函数极限不存在根据极限与特殊路径极限的关系，以及极限与累次极限的关系，证明二元函数极限不存在

2、．通常方法如下：　1）证明径向路径的极限与幅角（或斜率）有关；2）证明某个特殊路径的极限不存在；3）证明两个特殊路径的极限存在但不相等；　4）证明两个累次极限不相等．例2证明下列函数在处的极限不存在．(1)；(2)；(3)．　　　(4)．证(1)令,与斜率有关.只能在极限存在的情况下使用极坐标代换：　与幅角有关．所以极限不存在．　　(2)　因为分母当时为零，因此考虑沿与在点相切的高次曲线的路径的极限．可取，则　　　　　　　　　所以极限不存在．　　(3)　沿取极限，其极限值为零．沿取极限，．所以极限不存在．　　(4)　二个累次极限存在，但不相等．例3函数在点的极

3、限存在吗？若存在，则求其值．解　考虑沿路线的极限（取不同的常数）　　　　　与有关．函数在点的极限不存在．　3．极限与特殊路径极限的关系例4证明：(1)当沿径向路线趋向时，极限存在，保持相等．而仍可以不存在．与例2的(3)题相同．(2)　若沿径向路线极限存在相等，关于幅角一致，则极限存在．证　(1)考虑沿曲线，则即沿任意径向路线趋向时，．但沿曲线时，．故　　不存在．(2)　以为例证明，其他点可做坐标平移得到．设沿任意径向路线，有．且　　　　，，当时，对有　　　　　当时，有从而有　　　　　　所以　　　　　　．例5　设是在区域上的有界次齐次函数．问极限是否存在？若存

4、在，试求其值．证　为次齐次函数，有　　　又因为有界，，使得　　　　　　　　　　　　　　　　（关于一致）于是　．所以　．例6　设点沿任意路线趋向时．函数的极限为．试证：．　　证　（反证法）若，（当时）则，及点列使得如此顺序用直线段将连成折线，则点沿趋向时，．与已知条件矛盾．4．累次极限交换次序例7为中的开集，．为上的函数．且　　1)对每个的，存在；2)关于中的一致．试证：．华师大书（第三版）：累次极限与重极限的关系　　证　要证明上式成立，只要证明　　　　　存在，且即可．　　　证明存在．　　　（为开集），使得　由条件2)　，当时，　　所以当，时，有　　　　　　　　

5、　令时，由条件1)知据准则知，存在．　记，则　　　证明．　　，由　　利用条件2)及的结论，当与充分接近时，使得将固定，由条件1)，，当时，于是有　　　　．