数分选讲讲稿第讲.doc

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1、讲授内容备注第二十五讲三、级数敛散性的应用1．收敛性的应用　　例24设．求．解　将看成级数的通项因为　　　　所以级数收敛．由收敛的必要条件知：．类似可证：，．例25设．试证：存在．证（记）是级数的部分和．而3学时与数项级数收敛定义的区别所以级数收敛．其部分和序列收敛，存在．例26设正项级数收敛．试证：．证　记，．则　．利用Abei变换：从而．或．例27试证：若收敛，，．则，且．　　证　　因为收敛，所以，必有　即且　．所以，即，故．　　　要证　即要证　　．　　　　因为为收敛级数的余和所以　　，即．于是，得．　2．发散性的应用例28设发散，且是正的不增数列．试证：．　　证　　因为所

2、以　从而　　因为　发散，所以．而　　　　　　　　　　　　　　　所以　　　　　．由两边夹法则知　　．广义积分作为级数的极限的例子．例29设单调函数在时有定义，并且广义积分存在．试证明：　　　．　　证　若，，有　　　　　　　　　　　　　令，两边取极限，得　　　　．若，考虑，同上证明．§5.2函数项级数所谓函数项级数在某区间上收敛，是指它逐点收敛．意即：对于中每固定一点，作为数项级数总是收敛的．因此对收敛性，可用上节数项级数各种判别法进行判断．本节的任务，主要讨论一致收敛性的判断．一、一致收敛性的判断方法如下：a)利用定义b)利用准则c)常用的几个充分条件：判别法；判别法；判别法　1

3、．利用定义　　方法：　i）要用定义证明在区间上一致收敛，应首先设法求出和函数，写出部分和，然后对，找出与无关的，使得时，有　　　　　　　ii）　时关于，等价于：　　　，，及　，使得亦等价于：，，使得　“放大法”：若，，使得且时，．则时，于上．　　确界法：时，等价于　，即以上结论，对函数列均有相应的结论．与数项级数收敛定义的联系与区别例1设是内的连续函数，证明：函数列在任何有限区间上一致收敛．　　证　是积分的一个积分和．且连续，该积分有意义时，　　设是任意一个有限区间．要证明时，于上，即对，当时，对　　　　　　　　　　　　　　　　　　　因为，所以点与点的距离补充函数列在上一致收敛

4、于极限函数的定义方法极限函数又在上一致连续，，当时，有故取，当时，有，必有从而当时，　即在上一致收敛于．由的任意性，命题得证．例2设函数在上有连续的导函数，证明：在任一有限开区间内一致收敛于．证　由微分中值定理　　　　　因为在上一致连续，，当时，有　　　　　　　取，当时，（此时），必有方法，，故时，于上．例3　试证：时，（关于）的充要条件是：，有　　　　（关于）．　　证　必要性　设时，（关于）　　，当时，有　　　　又，，所以对上述，，当时，有从而　　　　　此即　（关于）．　　充分性　假设时，（关于）则，使得　及满足　　　　如此得到　，但（关于）与已知条件矛盾．命题得证．例4若在

5、上可积，，且与在上都可积，设则在上一致收敛于．证　　　定理的推广方法放大法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以时，于上．例5给定函数序列：试问当取何值时，在上一致收敛．解　，　稳定点：当时，；当时，．所以，函数在稳定点处取最大值．极限函数　　　　　　所以，当且仅当时，在上一致收敛．例6试证：在上一致收敛．不等式此式与无关，仅与有关确界法确界法证，可视为交错级数，且收敛．记和函数为．其余和　　　　所以，级数在上一致收敛．例7讨论级数在与内的一致收敛性．解用判别法知，该级数在内收敛．　　　　当时，　　　　所以原级数在内非一致收敛，在内一致收敛．例8设在上可积，

6、确界法证明：函数序列在上一致收敛于0．证在上可积，在上有界．，使得　从而　　一般地，若对有：则　　故　于上，当时．