数分选讲讲稿第26讲.doc

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1、讲授内容备注第二十六讲§5.2函数项级数　2．利用准则判断一致收敛性例9设为上的可导函数列，且在上有是不依赖于和的正数．证明：若在上收敛，则必为一致收敛．　　证　　在上收敛，　　，，当时，有故当时，　　　　　　　　　　介于之间　　取，则时，　　　　　3学时从局部性质延拓到整体性质至此不能说明一致收敛，　　对上每点都采用上述步骤．　　　　，当，且时，有　　　　．如此组成了的一个开覆盖．由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖．不妨设为令　，则当时，，有　　　　　　　　．由收敛准则知，在上一致收敛．例10求证级数在的邻域内非一致收敛．证考虑，注

2、意到只要在的邻域内证明某常数即可．　　　时，所以只要保持　则　　　如此只要取　，从而即　　　　所以，对，有．故级数在的邻域内非一致收敛．例11证明：在上非一致收敛．证　，当时，．所以通项　该级数在上非一致收敛．　3．利用常用的判别法证明一致收敛性判别法：关键是找优级数，常用的方法如下求在上的最大值；利用已知的不等式；利用公式，微分中值定理例12证明：在上一致收敛．证　令　　　得稳定点：　　求在上的最大值比较　知为在上的最大值．如此　　　　　　　　　　　而　收敛，所以在上一致收敛．例13证明：在上一致收敛．证在附近，有，当充分大时，有且

3、收敛，由判别法知，原级数在上一致收敛．例14证明：在内一致收敛．证，有而收敛，由判别法知，原级数在内一致收敛．利用已知的不等式利用公式判别法与判别法判别法：若满足在上一致收敛；一致有界，且对每个固定的关于单调．则在上一致收敛．判别法：若满足关于与一致有界；对每个固定的关于单调，且时，于上则在上一致收敛．例15证明级数：在上一致收敛．证当时，．当时，　　　　　　　　注：使用上述二判别法，关键是将通项写成两个因子相乘，使之符合判别法的条件于是对一切，均有　（一致有界）对每个固定的关于是单调递减的，且即当时，于．由判别法知，在上一致收敛．　

4、　例16设级数收敛．证明：级数在时一致收敛．证　收敛，在时一致收敛．当时，，一致有界．且当时，对每一个是单调递减．故由判别法知，在时一致收敛．例17设均为常数．级数收敛．试证：在上一致收敛．　　证　收敛，自然关于一致收敛；　　　　　　　　　　　，即一致有界．　　　当时，　　即关于单调，（对固定的）由判别法知，在上一致收敛．例18证明：在任何有穷区间上一致收敛．但在任何一点处不绝对收敛．　　证由知，该级数在任何一点处不绝对收敛．下证第一个结论．　　，即关于与一致有界；　　即对任意的关于单调；　　　时，　　其中　．因此当时，于上．本例说明

5、一致收敛不意味着绝对收敛．由判别法知，在上一致收敛．例19证明：在内一致收敛．　　证　在使用判别法时，可先用判别法证一致收敛性．，其中关于单调，；　　，，．即关于与一致有界；据判别法，只需证明在内一致收敛．i），，．所以　在内关于与一致有界；ii）在内关于单调递减，　　　　　　　　　　　　　　，．即在内，且，　　于是据判别法知，级数在内一致收敛．综合，据判别法，命题成立．二、一致收敛级数的性质1．关于逐项取极限例20（逐项取极限定理）设级数在的某个空心邻域内一致收敛．，则收敛，且证　设，若，即证．　在内一致收敛，　　，，当时，对，有　

6、　　　　　　令，得　由收敛准则知，级数收敛．（为某个常数）　　　由一致收敛及的收敛性知，，，当时，对，有．将暂时固定，故对　，，当时，从而即．即．例21假定函数在区间内单调增加，且．又假定级数在内逐点收敛，并且有上界．那么在内一致收敛，并且．　　证　只要证明在内一致收敛，并且极限　存在．　　　先证明存在．已知．又收敛并且有上界．所以，使得而在区间内单调增加，故存在．记，则在内有　　　　　　　　再证在内一致收敛．为此只需证明　收敛即可．　　　　令，得　　　，故由正项级数的判别法知收敛．从而由判别法，在内一致收敛．