配方法的解题功能

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1、配方法的解题功能第二十四讲配方法的解题功能把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．例题求解【例1】已知有理数x，，z满足，那么(x—z)2的值为．(北京市竞赛题)思路点拨三元不定方程，尝试从配方法人手．【例2】

2、若，则可取得的最小值为()A．3B．．D．6(武汉市选拔赛试题)思路点拨通过引参，设，把x，，z用的代数式表示，则转化为关于的二次三项式，运用配方法求其最小值．【例3】怎样的整数a、b、满足不等式：．(匈牙利数学奥林匹克试题)思路点拨一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．【例4】求方程2－2n+14n2=217的自然数解．(上海市竞赛题)思路点拨本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．【例】求实数x、的值，使得(－1)2+(x+－3)2+(2x+－6)2达到最小值．(全国初中数学联赛试题)思路点拨展开整理成关于x(或)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出

3、最小值存在时的x、的值．【例6】为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABD，AB=10，B=20)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求A＝AH=F=G，那么在满足上述条的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由．(2温州市中考题)思路点拨这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=F=G=x，则BE=DG=(20－x)，四边形EFGH的面积可用x的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值

4、．注配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非负教的最小值为零．学历训练1．若，则．(2江西省中考题)2．设，，则的值等于．(“希望杯”邀请赛试题)3．分解因式：=．4，已知实数x、、z满足，，那么=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)．若实数x、满足，则的值是（）A．1B．．D．6．已知，，，则多项式的值为()A．0B．1．2D．3(全国初中数学竞赛题)7．整数x、满足不等式，则x+的值有()A．1

5、个B．2个．3个D．4个(“希望杯”邀请赛试题)8．化简为()A．－4B．4－l．D．1(2003年天津市竞赛题)9．已知正整数a、b、满足不等式，求a、b、的值．(江苏省竞赛题)10．已知x、、z为实数，且满足，求的最小值．(第12届“希望杯”邀请赛试题)11．实数x、、z满足，则的值为．12．若，则a+b+的值为．13．x、为实数，且，则x、的值为x=，=．14．已知，那么当x=，=时，的值最小，的最小值为．1．已知，，则a+b＝()A．4B．0．2D．－2(重庆市竞赛题)16．设，，则的值为()A．B．．2D．(江苏省竞赛题)17．若a、b、、d是乘积为l的4个正数，则代数式的最小值为

6、()A．0B．4．8D．1018．若实数a、b、满足，代数式的最大值是()A．27D．18．1D．1219．已知x++z=1，求证：．(苏奥尔德莱尼基市竞赛题)20．已知a>b，且，a、b为自然数，求a、b的值．21．已知a、b、是△AB的三边长，且满足，，，试求△AB的面积．22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每获利润8元，每提高一个档次，每产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60，提高一个档次将减少3．如果获利润最大的产晶是第档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求的值．(东省竞赛题)