2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题

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1、2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题93.（2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．【答案】解：（1）证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。∴BC是⊙

2、O的切线。（2）连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形。∴∠AOF=60°。∴∠ABF=∠AOF=30°。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=BE=5。易证Rt△ADE∽Rt△CGE，-26-∴sin∠ECG=sin∠A=，∴。∴。又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。∴⊙O的半径为2AD=。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）

3、连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。94.（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，

4、MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．（1）如图l，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．-26-【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA

5、）。∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。（2）∵NP=2PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。∴AM=AP=5。∴。∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。∴。∵，∴BC=6。∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴。∵CK：CF=2：3，设CK=

6、2k，则CF=3k。∴，。过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。∴∠BPC=∠BFH。-26-∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。∴。∴，。∴CT=。∴。∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。∴。∴tan∠BDK=1。过K作KG⊥BD于G。∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，

7、GD=4n。∴BK=5n=3，∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。∴DQ=BQ－BD=6－。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ

8、的长度。95.（2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点