2019年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题-(47206)

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1、--2019年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题24.（2019湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=5，求⊙O的半径．13【答案】解：（1）证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。∴BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF

2、，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形。∴∠AOF=60°。∴∠ABF=1∠AOF=30°。2（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=1BE=5。2易证Rt△ADE∽Rt△CGE，----∴sin∠ECG=sin∠A=5，----13----EG5=13。∴CE=sinECG513∴CGCE2EG21325212。又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得ADDE，即AD2，解得AD24。CGGE125548∴⊙O的半径为2AD=。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的

3、判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=1BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，2由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。25.（2019黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC

4、于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．（1）如图l，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。∵∠APM=∠BPC∠B

5、PC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。（2）∵NP=2PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。----∴AM=AP=5。∴AQMNAM2AN24。----∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。∴tanABCtanMANMN4。AN3∵tanABCAC，∴BC=6。BC∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴NENP。CKPC∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。∴N

6、E2，NE4k。2k33过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。∴NE=TF=4k，∴CT=CF－TF=3k－4k=5k。333∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。∴∠BPC=∠BFH。∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。∴tanNTCtanBPCBC2。PC∴tanNTCNC2，CT1NC=5。CT22∴CT=5k=5。∴k=3。∴CK=2×3=3，BK=BC－CK=3。3222∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。∴tanPKCPC。∴tan∠BDK=1。1KC过K作KG⊥BD于G

7、。∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=4，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。3∴BK=5n=3，∴n=3。∴BD=4n+3n=7n=21。----55----∵ABAC2BC210，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。----219∴DQ=BQ－BD=6－=。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形△