中考数学压轴题及答案.doc

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1、中考数学压轴题及答案1.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点

2、为D（0，）∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋．1分∵B（－，）在抛物线上∴a(－)2＋＝，∴a＝．3分∴抛物线的解析式为y＝x2＋．（2）∵B（－，），C（1，0）∴BC＝＝又B′C＝BC，OA＝，∴B′C＝OA．∵AC＝＝＝2∴AB＝＝＝1又AB′＝AB，OC＝1，∴AB′＝OC．∴四边形AOCB′是矩形．∵B′C＝，OC＝1∴点B′的坐标为（1，）将x＝1代入y＝x2＋得y＝∴点B′在抛物线上．（3）存在11分理由如下：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线AB的解析式为y＝12分∵P、F分别在直线AB和抛物线上，且PF∥AD

3、∴设P（m，），F（m，m2＋）∴PF＝()－(m2＋)＝－m2＋＋AD＝＝若四边形PADF是平行四边形，则有PF＝AD．即－m2＋＋＝解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝．当m＝时，＝×＋＝．∴存在点P（，），使四边形PADF是平行四边形．2、如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC

4、的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．解答：解：（1）把点B（﹣2，﹣2）的坐标，代入y=，得：﹣2=，∴k=4．即双曲线的解析式为：y=．（2分）设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn=4．①又∵tan∠AOx=4，∴=4，即m=4n．②又①，②，得：n2=1，∴n=±1．∵A点在第一象限，∴n=1，m=4，∴A点的坐标为（1，4）把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：解得a=1，b=3；∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；（4分）（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x

5、2+3x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=1（舍去）．∴C点的坐标为（﹣4，4），且AC=5，（6分）又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15；（7分）（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积．过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（﹣4，4），CD∥AB，所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12．（9分）解方程组得所以点D的坐标是（3，18）3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于

6、D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式．（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；（2

7、）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，∴，解得：，y=x+；（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AM=3，∴BM=2，∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，∴△ABC∽△CBM，∴，∴，∴PC

8、=1.5，P点坐标为：（2，1.5）．