量子力学总结.ppt

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1、量子力学总结一、量子力学的基本思想和基本原理（1）物质的运动伴随物质波，物质波波长可由下式求出：1、量子力学基本思想对于非相对论粒子：如自由粒子：对于相对论粒子：如光子：（2）物体的运动具有不确定度，任何两个共轭物理量均有不确定度存在，即不可能同时精确测量两个共轭物理量。对于任一物理量：对于：2、量子力学基本原理：（1）状态→数学上用波函数描述，波函数是的函数，是希尔伯特空间中的矢量。波函数满足标准化条件：单值、连续、有限（或平方可积）。波函数

2、ψ(x,t)

3、2才有物理意义，解释为概率密度。在t时

4、刻，在x--x+dx区域发现粒子的概率：dp=

5、ψ(x,t)

6、2dx波函数满足的两个条件：ψ/连续归一化条件：∫

7、ψ

8、2dτ=1（2）物理量用厄米算符表示，对体系物理量的测量，体现在厄米算符对波函数的作用，说明了量子力学理论包括了测量对体系的影响。①一般经典力学量是坐标和动量的函数，这类力学量对应的算符可直接将函数中的坐标和动量换为相应的算符即可得到。②对于不是的经典力学量，如自旋、宇称等，量子力学中重新给出定义。③一般算符可以展开为动量和坐标的级数形式：常见力学量算符：在直角坐标系中：在球坐标系

9、中：④厄米算符及性质定义因为性质算符时指：①含义：矩阵时指：②③④本征值为一些实数，也是体系中测量这些力学量得到的测量值计算的常用基本公式⑤如果一体系有一组算符完备组，则任何一个算符都可以该组算符展开。（3）力学量的测量测力学量A时，将状态函数以A本征函数展开状态函数本征函数出现塌缩出现力学量可能测量值每个值以一定的概率出现cn的平方是出现第n个本征值的概率矩阵表示力学量平均值对于归一的波函数此项为一。矩阵表示解存在的条件久期方程给出，一般是多值。对应不同本征值代入本征方程中，在考虑归一化条件，就

10、可得到本征函数①属于不同本征值的本征函数彼此正交。②可计算的类型题：Ⅰ、计算平均值和不确定度Ⅱ、计算本征值和本征函数Ⅲ、计算本征值出现的概率，或塌缩到本征态的概率(4)状态的演化Schrödinger方程当哈密顿量不显含时间时，即势能不是时间函数时，体系的状态为定态定态方程对所有表象都成立。a、空间概率密度和概率流密度不随时间改变。b、测量系统能量总是有确定值。①在定态状态时②方程中常带有本征值问题，通过边界条件，可以确定出本征值③能计算的问题Ⅰ、无限深势阱问题。Ⅳ、已知初始时刻波函数，求任意时刻

11、波函数问题。Ⅱ、中心力场问题。Ⅲ、谐振子问题。（5）全同粒子状态的描述全同粒子波函数为对称化函数.费米子：为反对称波函数，粒子交换一次位置，改变符号。玻色子：为对称波函数，粒子交换一次位置，不改变符号。费米子：玻色子：2个费米子2个玻色子位形和自旋直积空间波函数=位形空间波函数自旋空间波函数×它们各自单独归一典型例题一Ⅰ、计算平均值和不确定度3.14证明在的本征态下，证明证明：假设是的本征态，相应的本征值是，因为则：类似可以利用可得是及的本征函数，即3.15设粒子处于状态下，求和按3.14题，则有

12、：其次证明，利用解所以再利用，可得所以8.3在本征态下，求解因为而所以类似有所以Ⅱ、计算本征值和本征函数a、函数形式的本征方程------连续表象中的表示b、矩阵形式的本征方程------分离表象中的表示如x,p表象如其它算符表象c、常见表象的本征方程如能量、动量、角动量、坐标表象（1）（张p823-18）质量为m的粒子处于谐振子势的基态。（1）如弹性系数增大一倍，及势场突然变为，随即测量粒子的能量，求粒子处于势场基态的概率（2）势场由突变为后不进行测量，经过一段时间后，让势场重新恢复成，问取什么

13、值时，粒子正好恢复到原来势场的基态（概率100%）？解（1）初始时，谐振子的基态波函数势场改变后粒子的基态波函数为Ⅱ、计算本征值和本征函数这里势场改变后，谐振子的波函数不变，仍为，所以在此波函数中找到的概率幅为所以概率为（2）设t=0的时刻，Hamilton量为H，势突变后的Hamilton量为分别是的本征态，相应的本征值为将用的本征函数族展开，随时间演化经过时间后，粒子又变成，则要求t=0时，谐振子的基态为偶宇称态，势场始终保持宇称态，所以，n只能取偶数，取n=2k，于是有为了使此式每一个k都满

14、足，必须是的整数倍，即所以（2）（张p1084-13）设，求粒子的能量本征值取守恒量完全集为其共同本征函数为满足径向方程令方程化为相当于氢原子的径向方程换成，换成，上式只有在为正整数，且取正根时有解，有氢原子的能级得到本题的解（3）（张p442-5）证明对于一组波包，有由题设考虑到有（4）（曾p954-2）设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态中的任何一个态。试求体系可能态的数目，分三种情况讨论（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（c）两个不同粒子Bose子