样条有限元法.doc

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1、第6章样条有限元条法§6.1绪论20世纪60年代在R.W.Clough命名后迅速发展起来的有限单元法，被公认为结构分析最强有力的工具，理论上可适用于所有的结构。但对于规则区域的结构，有限元法的解题效率不如差分法；在计算机技术取得突破性进展之前，解决大型空间结构工程设计问题，往往需要大型计算机和昂贵的费用，使有限元法受到种种限制；有些结构问题用有限元法也难以解决，需要创造一些新的数值方法，于是又产生了有限条法、边界元法、样条元法以及新的加权残数（余量）法等等。适用于几何形状规则和边界条件简单的土建结构的一种行之有效的特殊有限元法—

2、—半解析有限条法，是由Y.K.Cheung（张佑启）和E.L.Wilson在1968年提出的[17]。与有限元法相比，主要不同点在于所取得位移函数，一般是以多项式和正交级数乘积的形式给出，使得弹性力学问题降维，从而使总刚度矩阵大大降阶，既省机时，精度也高。但对于非简支端边界条件，级数耦合，计算繁杂，尤其是对于集中荷载作用和内部支承情况，所取项数多，收敛慢。对于处理沿跨向材料突变或是变截面问题，结果也不能令人满意。1979年石钟慈提出样条有限元法[18]，用三次B样条变分方法解规则区域上板梁组合弹性结构的平衡问题，导出适用于各种边

3、界条件的统一计算格式，比通常的有限元法计算量少，精度高，便于在小型计算机上实现。稍后，秦荣提出以样条函数、梁振动函数及能量变分为基础的样条有限点法和后来的样条子域法[19]。1982年Y.K.Cheung等人又提出结构分析的样条有限条法，以克服经典有限条法的缺点。作者在分析空间悬挂结构吊桥时，采用元条相结合的方法[20]，将主索刚度叠加于桥面板条单元的结线上，分析索结构的动力特性取得成果。§6.2B样条与样条函数样条函数是现代函数逼近的一个十分活跃的分支，是计算方法的一个重要基础，已得到广泛应用。样条函数来源于实际生产中的样条曲

4、线，由于样条函数是一个分段多项式，利用它去逼近任意函数，具有更大的灵活性和适应性。样条函数可以利用基本样条（如B样条）函数的线性组合来构造，在计算力学中，常用B样条函数来构造位移函数及应力函数。●B样条及其性质B样条函数是基本样条函数（简称B样条），它与广义函数——δ函数有密切的内在联系，并可以逼近δ函数，所以也称δ样条函数。B样条函数系可作成样条函数空间的一组基。n次B样条函数可写成统一的表达式(6.2.1）式中，是二项式系数的组合表示，样条结点。吊桥动力分析主要应用一次和三次B样条，其分段表达式和曲线形状如下：(6.2.2）

5、(6.2.3)(a)一次B样条(b)三次B样条图6.2.1B样条曲线n次B样条函数具有紧致性（即φn(x)及其导数以区间[]为紧致支撑集，此外，处处为零）和分段光滑性（为n次分段多项式，在（-∞，∞）区间，具有n-1阶连续导数）以及对称（即φn(-x)=φn(x)）和面积不变（亦即）等特性。尤其是奇次样条函数具有极小模性质（可用来量度变形能极小性质）以及最佳逼近性质，显示了很大的数学与力学的使用价值。●样条函数样条函数曲线来源于生产实践中的数学放样。定义一次样条函数为二阶广义微分方程的解，即(6.2.4）式中，xj为结点，下标“

6、+”为截断符号，即定义：(6.2.5）可见，一次样条函数是连续，且分段线性的折线函数，其力学意义是集中力作用下的弹性弦，它表征了缆索受吊杆作用力时的实际情况。我们也可以定义三次样条函数为四阶广义微分方程的解，其一般表达式为(6.2.6)显然，这是一个分段三次多项式（当βj=0时，便退化为普通的三次多项式），有二阶连续导数，三阶阶跃导数。如果与梁的挠曲线方程y(4)(x)=q(x)对照，可知三次样条函数相当于弹性梁在结点xj处受集中荷载βj作用下的挠曲线。因此，可用以反映吊桥加劲梁受吊杆力作用的实际情况。同样，我们可以定义更高次的

7、样条函数，例如，在研究连续应力场和应变场时，定义了五次样条函数[21]。二次样条函数也同样有其力学背景。这里不赘述。根据展开定理，n次样条函数Sn(x)可表为n次B样条函数φn(x)及其平移φn(x-k)的线性组合，即(6.2.7）当n为奇数时，若在[0,]的区间上取N等分划，则h=/N，在第k结点，有xk=kh，于是上式可表为(6.2.8)对于一次和三次B样条，有(6.2.9）和(6.2.10）而上以为结点的一次B样条的一组基函数，张成N+1维空间。类似的，为三次B样条的一组基函数，张成N+3维空间。在线性空间等价的前提下，可

8、改换基函数的形式，构造出适合结构位移边界条件的基函数，使统一处理各种边界条件得到方便。例如，将（6.2.10）式改写后表示位移函数(6.2.11）由于基函数的局部紧凑，若要计算某样条结点xi的位移值，上式中最多只有三项不为零，即(6.2.12）在求出广义参数后，