平面应力状态下的应变分析

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1、§7-6平面应力状态下的应变分析一、任意方向的应变即研究平面应力状态下一点沿任意方向的线应变和剪应变假设点O处Oxy坐标系内的线应变x，y和剪应变xy为已知。求沿任意方向的线应变xyO为O点沿x′方向的线应变。为直角的改变量。xyo规定角以逆时针转动时为正值。如图,将Oxy坐标系绕O点转角得一个新的坐标系Ox’y’假设O点处沿任意方向的微段内,应变是均匀的。xyo变形在线弹性范围内都是微小的,叠加原理成立。下面分别计算x,y,xy,单独存在时的线应变和剪应变，然后叠加得这些应变分量同时存在时的和。1PK1棋牌公社

2、官网www.kxqipai.net编辑整理Oxy从O点沿x′方向取出一微段OP=dx′,并以它作为矩形OAPB的对角线,该矩形的两边长分别为dx和dy。1、推导线应变PABdxdy（1）只有正值x存在的1的伸长量为假设OB边不动。矩形OAPB变形后成为OA’P’B。由线应变的定义可得O点沿x′方向的线应变1为（2）只有正值y存在2假设OA边不动。的伸长量为矩形OAPB变形后为O点沿x′方向的线应变为（3）只有正值剪应变xy存在（规定xy使直角减小为正）的2假设OA边不动的伸长为：矩形OAPB变形后为菱形O点沿x′方向的线应变为：根据

3、叠加原理，x,y和xy同时存在时，O点沿x′方向的线应变为2、推导剪应变（略）或二、应变圆与应力公式相比o以线应变作为横坐标,而将(-/2)作为纵坐标,便可绘出表示平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律（一点处的应变状态）的应变圆具体作法:以D1(x,xy/2)D2(y,-xy/2)两点连线为直径画应变圆三、主应变的数值与方向在平面应力状态下，在此平面内一点处也存在着两个互相垂直的主应变,其相应的剪应变等于零。o两个主应变方向间的夹角等于90°,即两方向互相垂直。0为1与x轴的夹角。OA1和A2两点的纵坐标等于零,它们的横坐标

4、分别代表两个主应变1,2。主应变1与x轴间所夹角度0满足两个主应变的表达式为（7-6-3）最大主应变1与x轴间所夹角度记为1,最小主应变1与x轴间所夹角度记为2,1与2间相差90°。与主应力方向的确定相似,得到(a)当εx>εy时,(b)当εx<εy时,(c)当εx=εy时,具体是正负可由力的合成定理直接判断.例题7-5设用图a所示的45°应变花测得某构件表面上一点处的三个线应变值为x=345×10-6,45°=208×10-6,y=-149×10-6。试用应变圆求该点处的主应变数值和方向。xybacxybac(2)并根据已知的45

5、0,x，y值分别作出平行于该轴的直线La,Lb,Lc。解:(1)选适当的比例尺,绘出纵坐标轴。x=345×10-645°=208×10-6y=-149×10-6xybac(3)过Lb线上的任一点B,作与Lb成45°角(顺时针转向)的BA线,交La线于A点;ABxybacA(4)由B点作与Lb成45°角(逆时针转向)的BC线,交Lc线于C点。CBxybacACO1(5)作与BA与BC两线的垂直等分线,相交于O1点BAO1xybacC(6)过与O1点作横坐标轴轴,并以O1A（O1B或O1C）为半径作圆,即为应变圆。BAO1xybacCD1

6、D2应变圆与轴的交点D1,D2的横坐标,即为主应变的数值。AOCD1D2xybacb