应用复分析教学课件-1.3复变函数的极限与连续性.ppt

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1、§1.3复变函数的极限与连续性1.3.1复变函数的概念定义1.9设D是复平面中的一个点集,称为复变函数（引入背景看注1.6）.例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy定义1.10我们把定义在D是复平面中的一个点集,取值于（表示w平面的所有子集形成的集合）的非空映射称为一个多值复函数，简称多值函数.其中z为自变量w为因变量或函数，D为定义域.在以后的讨论中,D常常是一个平面区域

2、,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW单叶函数定义1.9P17观察映射w=z=x–iy的几何意义。注意到u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2观察映射w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2x

3、y的几何意义。注意到：u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy把z平面上的两族双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10§1.3.2复变函数的极限和连续性1.函数的极限定义1.12设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<

4、z-z0

5、

6、的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0

7、z-z0

8、

9、f(z)-A

10、

11、.2.函数的连续性定义则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.命题1.8-1.9：(1)连续函数的四则运算仍然连续；(2)连续函数的复合函数仍然连续；(3)连续函数的模也连续；(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续P24.例题1讨论的连续性。x00例2讨论

12、解：的连续性。