[学科竞赛]多重积分83.ppt

《[学科竞赛]多重积分83.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三重积分的概念三重积分的计算小结思考题作业第三节　三重积分第八章重积分1是空间有界闭区域Ω上的如当各小闭区域直径中的最大值在每个1.三重积分的定义将闭区域Ω任意分成n个小闭区域其中并作和作乘积①②③④有界函数.也表示它的体积.表示第i个小闭区域,上任取一点三重积分一、三重积分的概念2记为函数趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为在闭区域Ω上的三重积分.即体积元素三重积分3三重积分如果用平行于坐标面的平面的来划分故直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为43.三重积分的几何意义设被积函数有界闭区域连续函数

2、一定可积2.三重积分存在性则区域V的体积为在Ω上是可积的.的三重积分存在时,三重积分54.三重积分的性质与二重积分的性质类似.补充三重积分对称性质则称f关于变量z的奇函数.关于坐标面的上半部区域.(偶)三重积分6关于坐标面的前半部区域.三重积分7关于坐标面的右半部区域.三重积分8或而得结果为零.例0则三重积分9二、三重积分的计算在不同的坐标系下把三重积分化为三次积分。三重积分思想1.利用直角坐标计算三重积分；2.利用柱面坐标计算三重积分；3.利用球面坐标计算三重积分。10(1)坐标面投影法(先一后二法)如图,闭区域

3、面上的投影为闭区域Dxy,过点作直线,三重积分1.利用直角坐标计算三重积分于是可以XY型空间区域表示为11相交不多两点情形.XY型空间区域12X－型再计算的函数,得三重积分则13如何写出当Dxy为Y–型闭域时,化为三次积分的公式三重积分三重积分14三重积分同样,如果积分区域Ω是YZ型的，可以把Ω向yOz投影，于是Ω可表示为此时三重积分的计算法为如果积分区域Ω是ZX型的，可以把Ω向zOx投影，于是Ω可表示为此时三重积分的计算法为15所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).积分域Ω及其在坐标面上的投影

4、区域D选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数三重积分16三重积分以上计算三重积分的方法按先“单积分”后“二重积分”的步骤,所以又称其为“先一后二”的积分次序。又由于此方法是先把积分区域向坐标面投影，且二重积分的积分区域就是的投影区域，故该方法也称为坐标面投影法。17解由于V是长方体,故例三次积分的上、下限都是常数,三重积分计算三重积分其中V是长方体18坐标面投影法(先一后二法)三重积分计算三重积分例解19计算三重积分三重积分20解化三重积分为三次积分,例所围成的闭区域.三重积分其中积分区域为由曲面

5、得交线投影区域21(平面截面法)(红色部分)(先二后一法)一般步骤(1)投影,得投影区间(2)(3)计算二重积分(4)最后计算单积分三重积分(2)坐标轴投影法Z型空间区域Z型空间区域：当时，纵坐标为z的平面去截时，所得到的是一个平面区域22三重积分即当被积函数仅与变量z有关,用上公式简便.注且截面Dz易知时,23三重积分类似地，空间区域还有X型和Y型之分。若积分区域时X型的，这时可表示为则同样，若积分区域时Y型的，则24坐标轴投影法(先二后一法)解计算三重积分例原式=三重积分25三重积分例计算其中为椭球体解将看作Z

6、型区域，则所以，26规定直角坐标与柱面坐标的关系为就叫点M的柱面坐标.三重积分2.利用柱面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数27柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面；过z轴的半平面.与xOy平面平行的平面;三坐标面分别为三重积分称点M的柱面坐标28柱面坐标系中的体积元素为在柱面坐标系中,如图,得小柱体即直角坐标系下三重积分与(红色部分).若以三坐标面分割空间区域柱(面)坐标系下三重积分的关系是三重积分29如何计算柱坐标系下三重积分回想直角坐标系下计算

7、三重积分方法.将三重积分化为三次积分(累次积分)三重积分30柱坐标系下三重积分的计算,可得柱坐标系下三重积分化为三次积分与x,y,z等同的看为三个变量.如,极坐标不等式表示只要把被积函数中的的计算公式.类比公式先将Ω在xOy面上的投影域用三重积分31从而故再确定Ω的下,上边界面注通常是先积再积后积三重积分32如积分域Ω为圆柱域(如图).则三重积分33解例所围成.积分域用柱坐标表示为原式其中Ω由半圆柱面三重积分34例已知立体内任一点的质量的体密度解因为平面柱面坐标求曲面所围立体的质量M,与该点到z轴的距离的平方成正比

8、.的交线是上的圆体密度函数为三重积分35Ω的下边界面是上边界面是故所以Ω在xOy面上的投影域即是半径为2的圆域三重积分20,20££££rpq;212r=z36当被积函数是积分域Ω由圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面用所围成的.柱面坐标计算三重积分较方便.三重积分37记投影向量与x轴正方向的规定正方向间的夹角为夹角为球面坐标.称为点M的三重积分3.利用球面坐标